ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.02.2025
Просмотров: 542
Скачиваний: 2
13
Задача 7. Средствами векторной алгебры найти расстояние от точки D(4;9;1) до плоскости, проходящей через точки A(4;0;0), B(1;1;2) и C(6;-4;2).
Решение. Расстояние от точки D до плоскости АВС равно длине высоты H в пирамиде ABCD, проведенной из вершины D. Так как
объем пирамиды |
VABCD = |
1 |
SABC H , |
то |
||||
3VABCD |
3 |
|||||||
H = |
. Объем |
пирамиды равен |
||||||
SABC |
||||||||
одной |
шестой |
части |
объема |
|||||
параллелепипеда, |
построенного |
на |
||||||
векторах |
→ |
→ |
→ |
Согласно |
||||
AB , |
AC , AD . |
|||||||
геометрическому смыслу смешанного произведения известно, что модуль смешанного произведения трех векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.
Тогда VABCD = |
1 |
→ → → |
. |
1 |
→ → |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
AB AC AD |
SABC |
= |
AB× AC |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
→ |
→ |
→ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
AB |
AC AD |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Следовательно H = |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
→ |
→ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
AB× AC |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Имеем |
→ |
→ |
={2;-4;2}, |
→ |
={0;9;1}. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
AB ={-3;1;2}, |
AC |
AD |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
→ → → |
− 3 1 2 |
= − |
3 |
− 4 2 |
−1 |
2 2 |
+ 2 |
2 − 4 |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
AB AC AD = |
2 − 4 2 |
9 |
1 |
0 |
1 |
0 |
9 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
9 |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
=-3(-4-18)-(2)+2(18)=100. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
G |
G |
G |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
→ |
→ |
= |
i |
j |
k |
= iG |
− Gj |
+ kG |
={10;10;10}. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
AB× AC |
− 3 1 |
2 |
1 |
2 |
− 3 |
2 |
− 3 |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
− 4 |
2 |
− 4 |
2 |
2 |
2 |
2 |
− 4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
→ |
→ |
3 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
100 +100 +100 = 10 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
AB× AC |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда H= 101003 = 103 3 .
Ответ: H= 103 3 .
14
Задача 8. В параллелограмме ABCD: AB=12, AD=24, A= π3 .
Точка М, лежащая на стороне ВС, делит эту сторону в отношении ВМ:MC=1:3, точка N, лежащая на стороне CD, делит эту сторону в отношении CN:ND=1:5. Найти косинус угла MAN.
Решение. Сформулируем условие этой задачи на языке аналитической геометрии. Искомый угол - это угол между
векторами |
→ |
→ |
||||||||||||||||
AM |
и AN . Стороны параллелограмма АВ и AD будем |
|||||||||||||||||
→ |
→ |
→ |
= 12 , |
→ |
= 24 . |
|||||||||||||
рассматривать как векторы AB и |
AD . При этом |
AB |
AD |
|||||||||||||||
Угол между этими векторами равен |
π . |
|||||||||||||||||
3 |
||||||||||||||||||
Из правила сложения векторов следует: |
||||||||||||||||||
→ |
→ |
→ |
→ |
→ |
→ |
→ |
→ |
→ |
||||||||||
AM = AB + BM . Так как |
BM = 1 |
BC = 1 |
AD , то |
AM = AB + |
1 AD ; |
|||||||||||||
4 |
4 |
4 |
||||||||||||||||
→ |
→ |
→ |
→ |
→ |
5 |
→ |
→ |
→ |
→ |
|||||||||
AN = AD + DN . Так как |
DN = |
5 |
DC = |
AB , то AN |
= AD + |
5 |
AB . |
|||||||||||
6 |
||||||||||||||||||
6 |
6 |
|||||||||||||||||
Далее мы фактически повторяем решение, приведенное в задаче 2.
→ |
→ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
AM AN |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пусть MAN=α. Тогда cosα= |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
→ |
→ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
AM |
AN |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Предварительно |
вычислим: |
→ |
→ |
→ |
→ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( AB AB )=144, |
( AD AD )=576, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
→ |
→ |
→ |
→ |
π |
=12 24 |
1 |
=144. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( AB AD )=| AB |
|| AD |cos |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
5 |
2 |
1 |
5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
→ → |
→ |
→ |
→ |
→ |
→ → |
→ → |
→ → |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( |
AM AN )=(( |
AB + |
AD )( AD + |
AB ))=( AB AD )+ |
( |
AD AD )+ |
( AB AB ) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
6 |
4 |
6 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
→ |
→ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
+ |
( AD AB )=144+144+120+30=438. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
24 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
1 |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
→ |
→ |
→ |
→ |
→ |
→ |
→ → |
→ |
→ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( |
AM AM )=(( AB + |
AD )( AB + |
AD ))=( AB AB )+ |
( |
AB AD )+ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
→ |
→ |
→ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
+ |
( AD AD )=144+72+36=252. Значит | AM |= |
252 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
→ |
→ |
→ |
→ |
→ |
→ |
→ |
→ |
→ |
→ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( |
AN AN )=(( |
AD + |
AB )( |
AD + |
5 |
AB ))=( |
AD AD )+ |
( AB AD )+ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
25 |
6 |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
→ |
→ |
→ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( AB AB )=576+240+100=826. Значит | |
AN |= |
916 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
36 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
→ |
→ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
AM AN |
438 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда cosα= |
= |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
→ |
→ |
252 |
916 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
AM |
AN |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответ: cosα= |
438 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
252 |
916 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
15
Задача 9. Найти точку пересечения медиан в треугольнике АВС: A(0;12;24), B(36;6;6), C(18;48;36).
Напомним формулу деления отрезка в данном отношении.
Точка M(x;y;z) делит отрезок M1 M2 в отношении λ, если M1 M = λ .
MM2
Если координаты точек M1 и M2 соответственно равны M1 (x1 ; y1 , z1 ) , M2 (x2 ; y2 , z2 ) , то координаты точки М вычисляются по следующим
формулам: |
x = |
x1 + λx2 |
, |
y = |
y1 + λy2 |
, z = |
z1 + λz2 |
. |
|||||||||||||||
1 + λ |
|||||||||||||||||||||||
1 + λ |
1 + λ |
||||||||||||||||||||||
Решение. Точка D(xD , yD , zD ) делит |
|||||||||||||||||||||||
отрезок ВС |
пополам (в отношении |
||||||||||||||||||||||
λ=1). |
xB + xC |
||||||||||||||||||||||
Тогда |
xD = |
= 27 , |
|||||||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||||||
yD |
= |
yB + yC |
= 27 |
, zD = |
zB + zC |
= 21 . |
|||||||||||||||||
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||
Известно, что точка пересечения |
|||||||||||||||||||||||
AM |
медиан М делит отрезок AD в |
||||||||||||||||||||||
отношении |
= 2 . |
||||||||||||||||||||||
MD |
|||||||||||||||||||||||
Следовательно xM = |
xA + 2xD |
= 18 , |
yM = |
yA + 2 yD |
= 22 , |
||||||||||||||||||
zA + 2zD |
3 |
3 |
|||||||||||||||||||||
zM = |
= 22 . |
||||||||||||||||||||||
3 |
|||||||||||||||||||||||
Ответ: M(18;22;22). |
|||||||||||||||||||||||
Задача 10. Вершины треугольника АВС имеют координаты: A(4;2), |
|||||||||||||||||||||||
B(10;10), C(20;14).
Найти: а) уравнение и длину медианы, проведенной из вершины А; б) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины А; в) уравнение биссектрисы, проведенной из вершины А; г) проекцию точки А на сторону ВС;
д) точку, симметричную точке А относительно стороны ВС. Прежде чем приступить к решению данной задачи, напомним некоторые сведения об уравнении прямой на плоскости.
1.Уравнение прямой, проходящей через точку |
M0 (x0 , y0 ) |
перпендикулярно вектору N = {A; B} (называемому |
нормальным |
вектором прямой) может быть записано в виде A(x − x0 ) + B( y − y0 ) = 0 .
2. Уравнение |
прямой, |
проходящей через |
точку |
M0 (x0 , y0 ) |
|||
параллельно |
вектору |
a = {l;m} (называемому |
направляющим |
||||
вектором прямой) может быть записано в виде |
(x − x0 ) |
= |
( y − y0 ) |
. |
|||
l |
m |
||||||
16
3.Уравнение вида Аx+By+C=0 (линейное относительно координат x, y) определяет на плоскости прямую линию и вектор N = {A; B} будет перпендикулярен этой прямой.
4.Расстояние от точки M0 (x0 , y0 ) до прямой, заданной уравнением
Аx+By+C=0 вычисляется по формуле d = |
Аx0 + By0 + C |
. |
|||||||
A2 + B2 |
|||||||||
Определим уравнение медианы АМ. |
|||||||||
Точка М( xM ; yM ) середина отрезка ВС. |
|||||||||
Тогда |
xM = |
xB + xC |
= 15, |
||||||
yB + yC |
2 |
||||||||
yM = |
= 17 . |
Следовательно точка |
|||||||
2 |
|||||||||
М имеет координаты M(15;17). Уравнение медианы на языке аналитической геометрии это
уравнение прямой, проходящей через точку А(4;2) параллельно
вектору |
→ |
медианы имеет вид |
|||||||
AM ={11;15}. Тогда уравнение |
|||||||||
x − 4 |
y − |
2 |
. Длина медианы АМ= |
→ |
+ 225 = 346 . |
||||
= |
AM |
= 121 |
|||||||
11 |
15 |
||||||||
Уравнение высоты AS - это уравнение прямой, проходящей
→
через точку А(4;2) перпендикулярно вектору BC ={10;4}. Тогда уравнение высоты имеет вид 10(x-4)+4(y-2)=0, 5x+2y-24=0.
Длина высоты - это расстояние от точки А(4;2) до прямой ВС. Данная прямая проходит через точку B(10;10) параллельно вектору
→ |
x −10 |
y −10 |
||||
BC ={10;4}. Ее уравнение имеет вид |
= |
, |
2x-5y+30=0. |
|||
10 |
4 |
|||||
Расстояние AS от точки А(4;2) до прямой ВС, следовательно, равно
AS= |
2 4 −5 2 + 30 |
= |
28 |
. |
||||
22 + (−5)2 |
29 |
|||||||
Для определения уравнения биссектрисы найдем вектор a параллельный этой прямой. Для этого воспользуемся свойством
диагонали ромба. Если от точки |
А отложить единичные векторы |
|||||||||||||||||
→ |
→ |
|||||||||||||||||
одинаково направленные с векторами AB и |
AC , то вектор, равный их |
|||||||||||||||||
сумме, |
будет |
параллелен |
биссектрисе. |
Тогда |
имеем |
|||||||||||||
a = |
→1 |
AB + →1 |
AC . |
|||||||||||||||
→ |
→ |
|||||||||||||||||
AB |
AC |
|||||||||||||||||
→ |
={6;8}, |
→ |
= |
→ |
→ |
= |
256 +144 = 20 . |
|||||||||||
AB |
AB |
36 + 64 = 10 , AC ={16,12}, |
AC |
|||||||||||||||
17
Тогда |
a = |
1 |
{6;8} + |
1 |
{16;12} |
= { |
7 |
; |
7 |
}. |
В качестве направляющего |
|
10 |
20 |
5 |
||||||||||
5 |
||||||||||||
вектора |
искомой |
прямой |
может |
служить вектор a1 ={1;1}, |
||||||||
коллинеарный данному. Тогда уравнение искомой прямой имеет вид x −1 4 = y −1 2 или x-y-2=0.
Точка S(x,y) - проекция точки А на прямую ВС является точкой пересечения высоты AS и стороны ВС. Для определения координат точки S имеем систему уравнений.
5x + 2 y = 24,2x −5y = −30.
Для ее решения воспользуемся формулами Крамера x = |
x , y = |
y |
. |
||||||||||||||||||||||||||
= |
5 |
2 |
= −29 , |
x = |
24 |
2 |
= −60 , |
y = |
5 |
24 |
= −198 . |
||||||||||||||||||
2 |
−5 |
− 30 |
−5 |
2 |
− 30 |
||||||||||||||||||||||||
Имеем x = |
60 |
, |
y = |
198 |
. |
Cледовательно, |
S |
имеет |
координаты |
||||||||||||||||||||
29 |
29 |
||||||||||||||||||||||||||||
60 |
198 |
||||||||||||||||||||||||||||
S( |
; |
). |
|||||||||||||||||||||||||||
29 |
29 |
||||||||||||||||||||||||||||
Для определения координат симметричной точки воспользуемся тем, что точка S делит отрезок АК пополам (в
отношении |
λ=1). |
Тогда |
xS = |
xA + xK |
. |
Тогда |
|||||||||||||||||||||||||||||
60 |
4 |
2 |
198 |
338 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
xK |
= 2xs − xA = 2 |
− 4 = |
. Аналогично yK = 2ys |
− yA = 2 |
− 2 = |
||||||||||||||||||||||||||||||
29 |
29 |
29 |
29 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
338 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
К |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
29 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
29 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответ: уравнение медианы |
x − 4 |
= |
y − 2 |
; |
длина |
медианы |
346 ; |
||||||||||||||||||||||||||||
11 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
15 |
28 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнение высоты 5x+2y-24=0; |
длина |
высоты |
; уравнение |
||||||||||||||||||||||||||||||||
29 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
биссектрисы x-y-2=0; проекция |
точки |
А на |
сторону |
ВС |
точка |
||||||||||||||||||||||||||||||
60 |
198 |
4 |
338 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
S( |
; |
); симметричная точка К |
; |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
29 |
29 |
29 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
29 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Задача 11 Даны координаты вершин пирамиды: A(10;6;6), B(−2;8;2),
C(6;8;9), D(7;10;3) . Требуется найти:
1)косинус угла между ребрами AB и AC;
2)площадь грани ABC;
→ →
3)проекцию вектора AB на AD ;
4)объем пирамиды;