Файл: Лекции по физике.pdf

скорость также изображается проекцией вращающегося вектора длиной Аω, начальное положение которого дополнительно сдвинуто против часовой стрелки

колебанием, которое происходит в противофазе (сдвинуто по фазе на π). Амплитуда ускорения равна Аω2.

На векторной диаграмме вся тройка векторов x,V и a вращается против часовой стрелки с угловой скоростью ω (Рис. 9.5).

9.4 Комплексное представление колебаний

Колебание можно представить в комплексной форме:

x = Acos(ωt +ϕ) = Re{A ei(ωt+ϕ )}= Re{xˆ}

эквивалентна векторной диаграмме. Обычно все операции делают в

комплексной форме с величинами типа x€ и только в конце берут действительную

часть результата (проекцию на ось Re).

9.5 Сложение (суперпозиция) скалярных колебаний и векторных колебаний одного направления

Если периодически изменяется скалярная величина, то колебание называется скалярным. Если периодически изменяется векторная величина – колебание называются векторным.

Пример скалярных колебаний - звук. При этом колебание плотности имеют

вид:

Δρ1=Acos(ωt+ϕ1) и Δρ2=Acos(ωt+ϕ2) – при сложении двух звуковых волн

Δρ= Δρ1+ Δρ2.

Пример векторных колебаний – электромагнитные волны, например свет. Напряжённость электрического поля в некоторой точке экрана можно выразить гармоническими колебаниями:

E1 = Eo1 cos(ωt + ϕ1 ) и E2 = Eo2 cos(ωt + ϕ2 )

36

При сложении двух световых волн в данной точке экрана они складываются

скалярно Е=Е1+Е2 только при условии, что колебания имеют одинаковое

направление, т.е. E1 E2 , (иначе колебания должны складываться векторно

E = E1 + E2 ).

Пусть складываются векторные колебания одного направления (или скалярные колебания), имеющие одинаковую круговую частоту (важна одинаковость частот ω1=ω2=ω):

x1=A1cos(ωt+ϕ1) и x2=A2cos(ωt+ϕ2) Тогда их суперпозиция также даёт гармоническое

колебание с некоторой амплитудой А и фазой ϕ: x=x1+x2=A1cos(ωt+ϕ1)+ A2cos(ωt+ϕ2)=Acos(ωt+ϕ)

где амплитуда и фаза результирующего колебания определяются соотношениями:

Геометрическое сложение колебаний одного направления и одинаковой частоты эквивалентно сложению векторов на векторной диаграмме, рис. 9.7. При этом результирующий

вектор А и весь треугольник вращается с частотой ω против часовой стрелки. Если складываются колебания от многих источников, то последовательно складываются все векторы. (рис. 9.8).

Частные случаи: Условия max и min при сложении колебаний: Условие max амплитуды реализуется, если ϕ1=ϕ2 (точнее ϕ1-ϕ2=2πn, n-целое). В этом случае А=А1+А2 – получим в сумме максимальную амплитуду результирующего колебания. Поэтому условие максимума имеет вид:

37

1. Условие min амплитуды реализуется, если ϕ2=ϕ1+π (точнее ϕ1-ϕ2=π+2πn, n-целое). В этом случае А=А1-А2 – получим в сумме минимальную амплитуду результирующего колебания. Поэтому условие минимума имеет вид:

ϕ1-ϕ2=π + 2πn, n = 0,±1,±2... (условие min) (9.7)

9.6 Сложение взаимно перпендикулярных колебаний, имеющих одинаковую частоту

Пусть точка смещается по оси x по закону: x=Acos(ωt+ϕ1), и одновременно по оси y по закону: y=Acos(ωt+ϕ2), т.е. происходит сложение (суперпозиция) взаимно перпендикулярных колебаний.

Исключая время t, из этих выражений можно получить уравнение траектории:

Это уравнение эллипса. Рассмотрим частные случаи:

1. Если ϕ1−ϕ2 = 0, ±2π, ±4π, …, ±2πn - то эллипс превращается в прямую, проходящую через 1 и 3 четверти;

2. Если ϕ1−ϕ2 = π + 2πn, где n = 0, ±1, ±2 …– прямая проходит через 2 и 4 четверти;

3. При условии ϕ1−ϕ2 = π/2 + πn – эллипс, где n = 0, ±1, ±2 … главные оси эллипса совпадают с осями x и y:

x2 + y2 =1 A2 B2

3.а. Если дополнительно выполняется условие: А=В, то эллипс переходит в окружность

9.7 Фазовая плоскость, фазовые диаграммы

38

Гармоническое колебание на фазовой плоскости имеет вид точки движущейся по окружности по часовой стрелке, рис.9.12.

Положение точки на фазовой диаграмме полностью характеризует состояние колебательной системы.

Задача: Как короткими толчками лучше раскачать качели?

Решение: Толчок эквивалентен тому, что тело получает дополнительный импульс и скачок скорости V ≡ xɺ .

если точки соответствуют моменту прохождения качелей через положение равновесия x=0, рис. 9.13.

9.8Гармонические осцилляторы

9.8.1Математический маятник

Математический маятник это точечная масса на невесомой нерастяжимой нити.

Тангенциальное ускорение аτ возникает под действием тангенциальной силы Fτ =−m g sinα ≈-m g α, рис. 9.14. (Напомним, что при малых α sinα ≈ α). С

другой стороны, аτ связано с угловым ускорением ε = d2α/dt2 соотношением:

39

Из второго закона Ньютона m аτ = Fτ , получаем:

Полученное дифференциальное уравнение аналогично уравнению (9.1). Его решением также является гармоническое колебание

Где квадрат круговой частоты ω2 равен коэффициенту перед переменной α в дифференциальном уравнении (9.10).

Соответственно, период колебаний математического маятника описывается формулой:

g

9.8.2. Физический маятник

Физический маятник это тело, колеблющееся вокруг фиксированной точки.

Момент силы М, действующий на тело, равен

F ”плечо”:

М =−m g d sinα ≈-m g d α.

Сила T, проходящая через ось вращения, момента не создаёт.

Уравнение движения: J d2α = M,

dt2

где J – момент инерции тела относительно оси,

dt2

Данное дифференциальное уравнение имеет следующее решение:α=αocos(ωt+ϕ),

ω2 = mg d

где . Итак, для физического маятника:

J

40