Файл: Лекции по физике.pdf

относительно точки О, а относительно некоторой оси ОО’. При этом “плечо” силы или импульса – это расстояние от линии действия F или P до оси ОО’. Моменты Mz или Lz относительно оси равны проекции на эту ось моментов

M или L, рассчитанных относительно любой точки этой оси.

Если точка О, относительно которой производится расчет моментов, находится в начале координат x,y,z, то справедливы уравнения:

где Lx ,Ly ,Lz ,Mx ,My ,Mz рассчитываются относительно соответствующих

осей, или рассчитываются относительно точки О, а затем проектируются на оси x,y,z.

7.3 Закон сохранения момента импульса

Из закона изменения момента импульса для системы материальных точек:

dLсист = Mвнешрез

dt

следует, что в замкнутых системах, где внешних сил нет и Mвнешрез = 0, суммарный момент импульса Lрез = const , т.е. сохраняется, и мы получаем:

Закон сохранения момента импульса: В замкнутой системе материальных точек момент импульса сохраняется.

материальных точек, если результирующий момент внешних сил Mвнешрез равен

нулю.

Закон сохранения момента импульса справедлив не только в механике, но и во всём материальном мире. В основе закона сохранения момента импульса лежит изотропность пространства, т.е. неизменность законов движения при повороте системы в пространстве на любой угол.

7.4 Движение в поле центральных сил

Силы, действующие на материальную точку, называются центральными, если они определяются только расстоянием от материальной точки до некоторой неподвижной точки, называемой центром сил, и направлены всюду либо от центра сил либо к центру сил.

28

Если центр сил принять за начало координат О, то центральные силы можно описать зависимостью:

r

Пример: движение спутников в поле тяжести Земли.

В поле центральных сил вектор силы F направлен вдоль или навстречу радиус-вектору r .

Очевидно, что моменты сил, создаваемые центральными силами, равны нулю. Поэтому

момент импульса L в поле центральных сил сохраняется:

Постоянство момента импульса означает, что движение происходит в одной плоскости.

Можно показать, что поле центральных сил консервативно. Поэтому полная механическая энергия материальной точки в этом поле сохраняется.

Лекция 8 Твёрдое тело в механике 8.1. Степени свободы. Обобщённые координаты

Числом степеней свободы называется минимальное количество независимых переменных, которые полностью задают положение всех точек системы в пространстве.

2точки – 6 степеней свободы (x1,y1,z1, x2,y2,z2),

2связанные точки – 5 степеней свободы

(каждая связь уменьшает число степеней свободы на 1), 3 точки – 9 степеней свободы, 3 связанные точки – 6 степеней свободы (9-3связи=6)

движение точки вдоль кривой – 1 степень свободы (S – расстояние от начала О) (Рис.8.1).

Твёрдое тело имеет 6 степеней свободы т.к. в качестве независимых параметров можно взять координаты 3-х любых точек тела, не лежащих на одной прямой.

Обобщёнными координатами называются любые переменные q1,q2…qn, число которых n равно числу степеней свободы системы и которые полностью задают положение всех точек системы.

Примеры: Для одной точки декартовы координаты x,y,z являются обобщёнными. Другой вариант – координаты точки в сферических координатах r,ϕ,ψ. Твёрдое тело, одна из точек которого закреплена, имеет 3 степени свободы (6-3=3). Твёрдое тело, у которого ось вращения фиксирована, имеет 1

29

степень свободы (3-2=1). При этом обобщённой координатой может служить угол поворота тела вокруг оси.

8.2 Уравнение движения и равновесия твёрдого тела

Т.к. твёрдое тело можно представить как систему материальных точек, то для него справедливо уравнение движения:

L = ∑Li - суммарный момент импульса системы,

Mвнеш = ∑Miвнеш - результирующий момент внешних сил, действующих на систему.

Итак, для описания движения твёрдого тела, которое имеет 6 степеней свободы, т.е. 6 обобщённых координат, есть 2 векторных уравнения (или 6 скалярных). Эти 6 уравнений полностью определяют движение тела в пространстве, т.е. изменение 6-ти переменных (обобщённых координат).

Если твёрдое тело покоится, то получаем условия равновесия твёрдого тела:

Это необходимые условия равновесия твёрдого тела. Но эти условия не являются достаточными, т.к. при их выполнении центр масс может двигаться

равномерно и прямолинейно, P = const , а само тело может дополнительно равномерно вращаться, имея L = const .

8.3 Вращение твёрдого тела

Пусть материальная точка массой m вращается вокруг неподвижной оси ОО´, вдоль которой направлена ось z, рис.8.2. Для нее справедливо уравнение вращательного движения:

dL = Mвнеш

dt

При этом L и Mвнеш рассчитаны относительно произвольной точки О, лежащей на оси. Проекции L и Mвнеш на ось z называют моментом импульса Lz относительно оси z и моментом силы Mz

относительно оси z.

30

Найдём, чему равно Lz для произвольной материальной точки массой m.

Сначала найдём L относительно точки О, рис. 8.2.

L = r× mV = (00′ + r )× mV = 00′ × mV+ r × mV

Здесь мы учли, что r = 00′ + r . Чтобы получить Lz, необходимо спроектировать L на ось z. Проекция вектора [00′ × mV] на ось z равна нулю, т.к. это векторное произведение перпендикулярно 00′. Второе векторное

материальной точки относительно оси.

Здесь r - расстояние от точечной массы m до оси.

Итак, момент импульса Lz материальной точки относительно оси вращения Z равен:

где Jz – момент инерции относительно оси z, ω – угловая скорость.

Если у нас вращается не одна материальная точка, а твёрдое тело, то для него момент импульса относительно оси складывается из моментов импульса каждой точки тела:

где Jz = ∑mi r2i - является моментом инерции всего тела относительно

оси z. Строго говоря, для сплошного твёрдого тела момент инерции является не суммой, а интегралом, но этот вопрос будет подробнее рассмотрен в следующем разделе.

Уравнение динамики тела, вращающегося относительно оси z, получается проектированием уравнения (8.2) на ось:

Для расчёта момента инерции твёрдого тела относительно оси, необходимо разбить тело на элементарные массы dm, для каждой рассчитать элементарный

31