ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.02.2025
Просмотров: 779
Скачиваний: 2
момент инерции и проинтегрировать все элементарные моменты инерции по всему объёму тела V:
(8.7)
Но dm = ρdV, где ρ - плотность тела,Vа dV - элементарный объём. Поэтому (8.7) можно выразить по-другому:
2 |
(8.8) |
|
J = ∫r ρdV |
||
V
При расчётах момента инерции тел, очень полезна теорема Штейнера, которая имеет следующий вид:
JОО´=JC + mR2 |
(8.9) |
где JОО´ - момент инерции относительно оси ОО´; JC – момент инерции относительно оси параллельной ОО´ и проходящей через центр масс тела C; m – масса всего тела; R – расстояние между осями.
Пример: Рассчитаем момент инерции обруча, вращающегося на гвозде вокруг точки О. По теореме Штейнера, учитывая, что момент инерции обруча относительно центра масс С равен mR2, получим:
Jo=JC + mR2 = mR2 + mR2 = 2mR2
8.5 Кинетическая энергия при вращении тела вокруг оси
Полная кинетическая энергия любого тела складывается из кинетической энергии всех материальных точек тела:
∑ |
∑ |
2 |
∑ |
2 |
2 |
∑ |
2 |
||||||||||||
W |
= |
W |
= |
miVi2 |
= |
mi |
ω2ri2 |
= ω2 |
m r2 |
= |
Jzω2 |
||||||||
K |
Ki |
i i |
|||||||||||||||||
Итак, кинетическая энергия вращающегося тела |
|||||||||||||||||||
равна: |
|||||||||||||||||||
W = |
J |
ω2 |
|||||||||||||||||
z |
(8.10) |
||||||||||||||||||
K |
2 |
||||||||||||||||||
где J – момент инерции тела относительно оси вращения Z;
ω- угловая скорость вращения тела.
8.6Кинетическая энергия тела при плоском движении
Плоским называют движение, при котором все материальные точки движутся, оставаясь в параллельных плоскостях.
Пример: Колесо при движении велосипеда.
32
Плоское движение можно представить как сумму поступательного и вращательного движения.
Можно показать, что кинетическая энергия при плоском движении равна сумме кинетических энергий поступательного движения тела со скоростью центра масс плюс кинетическая энергия вращения вокруг оси, проходящей через
центр масс: |
|||||
W |
= |
mVC2 |
+ |
JCω2 |
|
Kллос |
2 |
2 |
(8.11) |
||
Где m – масса тела, VC – скорость центра масс, JC – момент инерции тела
относительно оси, проходящей через центр масс, ω – угловая скорость вращения тела.
Пример: Найдём кинетическую энергию обруча, массой m, катящегося без проскальзывания со скоростью V.
W |
= mV 2 |
+ J 2ω2 |
= mV 2 |
+ mR 2V2 |
= mV2 |
|
K |
2 |
2 |
2 R2 |
|||
2 |
||||||
Кинетическая |
энергия |
катящегося обруча |
||||
mV2
оказалась больше, чем |
. |
|
2
Таблицу сравнения поступательного и вращательного движения смотри в конце конспекта.
Лекция 9-11. Колебательные процессы 9.1 Единый подход к колебаниям различной физической природы
Точное определение колебаний дать сложно. Объединяющим для колебаний является периодичность или приблизительная периодичность процессов.
Строго периодичным называется процесс бесконечный во времени, для которого справедливо f(t)=f(t+T), здесь Т – период.
Очевидно, что таких процессов в природе не существует, хотя бы потому, что любой процесс ограничен по времени. Поэтому в определении колебаний говорится о приблизительной периодичности процесса.
Примеры колебаний: маятник часов, приливы-отливы, переменный ток, звук, электромагнитные волны. При этом периодически изменяются различные физические величины: координаты, ток, плотность, напряжённость электрического и магнитного поля.
Самое удивительное в том, что совершенно различные с виду колебательные явления описываются одинаковыми математическими
33
уравнениями и поэтому обладают одинаковыми свойствами. Изучая колебания в механике, можно понять некоторые оптические явления и наоборот.
Советский физик А.И. Мандельштам с полным основанием утверждал, что главные открытия в физике по существу были колебательными.
Хотя мы будем рассматривать только временные колебания, повторяющиеся во времени, следует знать, что понятие колебаний распространяют и на процессы, повторяющиеся в пространстве. Это т.н. пространственные колебания.
9.2 Гармонические колебания
Рассмотрим колебания тела на пружине в отсутствие трения; m – масса тела, k – жёсткость пружины. На тело действует упругая возвращающая сила F=−k x, где x – смещение из положения равновесия.
Из уравнения движения m a=F получаем дифференциальное уравнение для гармонических колебаний:
m d2x = −k x |
|
dt2 |
|
Или |
|
d2x + k x = 0 |
(9.1) |
dt2 m |
Это обыкновенное однородное линейное дифференциальное уравнение 2- ого порядка с постоянными коэффициентами. Его решением является
гармоническое колебание, (по определению, колебания, описываемые
уравнением вида (9.2), называют гармоническими): |
|
x=Αcos(ωt+ϕ) |
(9.2) |
где А – амплитуда колебания, (амплитуда соответствует максимальному отклонению от положения равновесия), ω - круговая частота, (ωt+ϕ) – фаза колебания, ϕ - начальная фаза,
соответствует фазе при t=0. Далее мы убедимся, что такое же дифференциальное уравнение (9.1) и такое же решение (9.2) будет описывать огромное число колебательных процессов. Отличие будет заключаться только в коэффициенте перед переменной x. (Вместо k/m будут другие параметры
соответствующей колебательной системы).
Величины А и ϕ в (9.2) определяются начальными или граничными условиями, ω - круговая частота, определяется параметрами колебательной
34
системы: оказывается , что всегда ω2 равна коэффициенту перед x в уравнении (9.1):
ω = |
k |
(9.3) |
||
m |
||||
Периодом колебаний T=2π /ω |
- называют отрезок |
времени, |
||
затрачиваемый на одно полное колебание. |
||||
Частота ν=1/Τ это число колебаний за единицу времени. |
||||
Частота связана с круговой частотой соотношением: |
||||
ω=2πν |
(9.4) |
|||
Единица измерения [ ν ] = Гц.
Уравнение гармонических колебаний описывает бесконечное число различных физических явлений;
звук: ρ = ρocos(ωt + ϕ) - изменение плотности в точке,
свет: E = Eo cos(ωt + ϕ) - напряженность электрического поля в точке экрана.
9.3 Векторные диаграммы. Кинематика гармонических колебаний
Гармоническое колебание x=A cos(ωt+ϕ) можно представить на
векторной диаграмме в виде проекции на ось x вектора длиной А, вращающегося против часовой стрелки с угловой скоростью ω.
В момент времени t=0, фаза равна ϕ и
вектор A отклонён на угол ϕ. В моментвремени t угол увеличивается на ωt иA полный угол поворота вектора A составляет (ωt+ϕ).
Рассмотрим на векторной диаграмме смещение, скорость и ускорение гармонически колеблющейся точки.
Пусть смещение: x=Acos(ωt+ϕ), тогда скорость точки:
V = dx = −A ω sin(ω t +ϕ) = dt
= A ω cos(ω t +ϕ + π) 2
Скорость также является гармоническим колебанием с амплитудой Аω, а начальная фаза скорости равна ϕ + π/2, т.е. на π/2 больше, чем начальная фаза смещения ϕ. На векторной диаграмме
35