Файл: Шпоры по математике (интегралы, теория вероятностей, статистика).docx

1.Неопределенный интеграл

Опр. F(x) наз-ся первообразной для f(х) на промежутке Х, если в каждой точке х этого промежутка выполняется F`(х)=f(х)

Пример: f(х) = х² ; F(х) = ; F`(х) === х² = f(х); – первообразная для х².

F₁(х)=+ С.F₁`(х)=+ С)`= х²+C

Теорема

F₁(х) и F₂(х) некоторые первообразы для ф-ии f(х) на промежутке X, найдется такая постоянная С, что F₂(х)= F₁(х) +С

Опр. Неопределенным интегралом от ф-ии f(х) наз-ся совокупность всех первообразных для ф-ии f(х) на промежутке Х.

Обозначается .знак интеграла,f(х) – подынтегральная ф-ия, f(х)dx – подынтегральное выражение, dx- дифференциал независимой переменной .=F(x)+С , где F(x) – некоторая первообразная для ф-ии f, C- произвольная постоянная.

Св-ва неопределенного интеграла

1)

2)

3)

4)

5)

Таблица основных интегралов

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

Методы вычисления интегралов

Метод разложения

Метод интегрирования, основанный на применении свойств 4 и 5 неопр. интеграла наз-ся методом разложения(4)5) )

---

Пример:)²dx=

(sin+cos)²=sin² +2sin cos+ cos² = 1+sinx

=

Метод замены переменной(метод подстановки)

. =

Пример:

.== -= -ln|t|+C

Теорема

Если =F(x)+C , то

Пример:

dx=

dx=+C=+C

=*+C= -+C

Интегрирование по частям ф-ла интегрирования по частям

1. u=

2. dv=

3. 

1.ln x dx

2.dx

3.dx u=dv=dx

arctg x dx

arcctg x dx

---

Пример:

1.dx = x-dx= x-+C

Интегрирование рациональных дробей

Pn(x)=a₀xⁿ+ a₁x^n-1+…+ a_n-1x+a_n многочлен степени n

Qm(x)= b₀x^m+ b₁x^m-1+…+ b_m-1x+b_m многочлен степени m

–рациональная дробь

n<m правильная дробь

n≥m неправильная дробь

правильная рациональная дробь

неправильная дробь

x²+7x+3

Т.о интеграл от неправильной дроби сводится к сумме интегралов от целой части(многочлена) и интеграла от правильной дроби

Теорема

= =+ … +++…++…

Пример: =++++

Метод неопределенных коэффициентов

dx

D=25-24=1

X1=3 ; x2=2

==+

Сравниваем числители слева и справа

4x+3= A(x-2)+B(x-3)

X=3; А=15

---

Х=2; В= - 11

А=15, В= -11

dx=)dx=15- 11=15ln|x-3|-11|ln|x-2|+C

2.Определение

Пусть предел интегральной суммы

при стремлении max к нулю существует, конечен и не зависит от разбиения отрезка [a;b] и выбора промежуточных точек E …E , тогда этот предел наз-ся определенным интегралом от ф-ии f(x) на отрезке [a;b]

=

Число a-нижний предел, b- верхний предел, f(x)dx – подынтегральное выражение

семейство первообразных

f(Ei)– определенное число

f(x)≥0

S=

Опр. Определенный интеграл от неотрицательной ф-ии на отрезке [a;b] численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком ф-ии y=f(x), осью Ox, прямыми x=a, x=b

Св-ва определенного интеграла

1. 

2)

3)для ∀ a, b, c :

4)

5)=

6) Если ∀ х∈ [a;b] f(x)≤g(x) , то ≤

7) Если ∀ х∈ [a;b] ∃m, M-const ; m≤f(x)≤M, то

m(b-a) ≤≤ M(b-a)

Геометрический смысл определённого интеграла.

Если f(x) >0 на отрезке [a,b], то равен площади криволинейной трапеции ABCD, ограниченной снизу отрезком [a,b], слева и справа - прямыми x = a и x = b, сверху – функцией y = f(x).

---

вычисление площади плоской фигуры

f(x) ≥0 , ∀ х∈ [a;b]

S=

3. 3. Несобственный интеграл

определение несобственного интеграла

Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:

Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;

Функция f(x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри отрезка [a, b].

несобственные интегралы первого и второго рода;

несобственный интеграл 1го рода (несобственный интеграл с бесконечными пределами

Опр. =. Если предел в правой части сущ-ет и конечен, то несобственный интеграл наз-ся сходящимся к этому пределу, в противном случае интеграл наз-ся расходящимся

2 задачи для несобственных интегралов

1)исследование вопроса о сходимости данного несобственного интеграла

2)вычисление значения интеграла в случае, если он сходится

Пример

=) =– 1)= - (0- 1)=1. Данный интеграл сходится к числу 1.

Несобственный интеграл 2го рода

Пусть ф-ия f(x) непрерывна и неограниченна на интервале [а;b)

=, если предел справа сущ-ет и конечен, то несобственный интеграл наз-ся сходящимся в противном случае наз-ся расходящимся

---