Файл: Шпоры по математике (интегралы, теория вероятностей, статистика).docx

- выборочное СКО, которое дает приближенное значение для СКО генеральной совокупности.

Наряду с выборочной используется уточненная (исправленная) выборочная дисперсия

Выборочный начальный момент порядка k

ν_k =

Выборочный центральный момент порядка k

μ_k =

Выборочный центральный момент второго порядка равен выборочной дисперсии.

Точечная статистическая оценка вероятности случайного события

Предположим, что в некотором эксперименте событие А (благоприятный исход испытания) происходит с вероятностью p и не происходит с вероятностью q = 1 — р. Задача состоит в получении оценки неизвестного параметра распределения по результатам серии n случайных экспериментов. При заданном числе испытаний n количество благоприятных исходов m в серии испытаний — случайная величина, имеющая распределение Бернулли. Обозначим ее буквой μ.

Если событие А в серии из n независимых испытаний произошло m раз, то оценку величины предлагается вычислять по формуле:.

Выясним свойства предлагаемой оценки. Поскольку случайная величина μ имеет распределение Бернулли, то Μμ=np и M= M= р, т.е. налицо несмещенная оценка.

Для испытаний Бернулли справедлива теорема Бернулли, согласно которой

, т.е. оценка p состоятельная.

Доказано, что эта оценка эффективна, так как обладает при прочих равных условиях минимальной дисперсией.

16.Доверительным интервалом для параметра , соответствующему доверительной вероятности γ, называется интервал (_н;_в), где _н – нижняя граница дов.инт., _в – верхняя граница дов.инт. они определяются по выборочным данным x₁, … , x_n, так, чтобы P{_н < <_в} = γ, т.е. вероятность того, что фиксированное значение содержится внутри интервала (_н;_в) равна доверительной вероятности γ.

---

Доверительный интервал, удовлетворяющий этим требованиям, называется интервальной оценкой параметра .

γ – доверительная вероятность, уровень доверия, надежность.

γ приближено для тех опытов, при многократном повторении в которых дов.инт. включает в себя истинное значение параметра .

Число γ выбирается так, что события с вероятностью α =1 – γ считается практически невозможными, где число α – уровень значимости.

Ширина интервала 2ԑ = _в – _н определяет точность оценки, а вероятность γ определяет достоверность оценки.

При фиксированном объеме наблюдений n нельзя одновременно увеличивать γ и уменьшать ԑ. Значение ԑ увеличивается с повышением достоверности γ, т.е. увеличивается погрешность оценки, и наоборот. Если при данной величине γ надо получить более узкий дов.инт., необходимо увеличить n.

Если выбрана некоторая оценка параметраиF(x) – функция распределения этой оценки, то границы _н и _в определяются: F(_н) = ;F(_в) = , т.е. _н и _в являются квантилями уровней и функции распределения F(x).

Основные распределения, используемые в методе интервальных оценок

1. Нормальное распределение

Если X N(m, ), тоf(x) = ,функция Лапласа

---

Соотношение между квантилями: Z_p = -Z_1-p, где = 1 -

2. Хи-квадрат распределение (распределение Пирсона)

Распределением сk степенями свободы называется распределение случайной величины Х_k равной сумме квадратов k независимых нормально распределенных по нормальному закону N (0,1) случайных величин U_i, i=1,2,… , k: X_k = =

Теорема

Пусть х₁, … , х_n – выборка из нормального распределения генеральной совокупности N (m, ) ии– это выборочное среднее и исправленная выборочная дисперсия, тогда статистикии- независимые случайные величины, причем статистикаимеет- распределение с (n-1) степенью свободы.

3. Распределение Стьюдента

Распределением Стьюдента с k степенями свободы называется распределение случайной величины T_k равной отношению двух независимых случайных величин U и :T_k = , где U N(0,1), X – имеет – распределение сk степенями свободы.

Соотношение квантилей: t_p = t_1-p, p > 0,5.

4. F – распределение (распределение Фишера – Снедекора)

F – распределением с k₁ и k₂ степенями свободы называется распределение случайной величины F_{k1, k2} равной отношению двух независимых случайных величин и;, гдеимеют– распределение сk₁ и k₂ степенями свободы соответственно.

---

Соотношение квантилей: f_1-p(k₁; k₂) = .

Доверительный интервал для математического ожидания

1. При известной дисперсии

Дано: а) выборка x₁, … , x_n объема n из нормального распределения генеральной совокупности с известной дисперсией

б) доверительная вероятность γ

(–*;+*), где– квантиль нормального распределения уровня,α = 1 – γ.

2. При неизвестной дисперсии

Дано: а) выборка x₁, … , x_n объема n из нормального распределения генеральной совокупности

б) доверительная вероятность γ

(x – (n-1)*;x + (n-1)*) , гдеS = ,- исправленная выборочная дисперсия;- квантиль распределения Стьюдента уровнястепенью свободы.

Доверительный интервал для дисперсии

1. При известном мат.ожидании

Дано: а) выборка x₁, … , x_n объема n из нормального распределения генеральной совокупности с известным мат.ожиданием m

б) доверительная вероятность γ

(;, где=, где- квантиль– распределения с n степенями свободы уровня p.

---

2. При неизвестном мат.ожидании

Дано: а) выборка x₁, … , x_n объема n из нормального распределения генеральной совокупности

б) доверительная вероятность γ

;

Доверительный интервал для параметра p Биномиального распределения

Дано: 1. n - число опытов, проводимых по биномиальной схеме

2. k - число успехов

3. α – уровень значимости

(, где- точечная оценка параметраp ();- квантиль нормального распределения уровня.

---