Файл: Шпоры по математике (интегралы, теория вероятностей, статистика).docx

Пусть события А происходят одновременно с одним из событий Н1…Нn, где H1…Hn- образуют полную группу

H1…Hn – несовместны и

H1…Hn – гипотезы

Пусть известны : P(Hi); P(A/Hi), i=1,…n

О результатах опыта есть неполная информация. Требуется найти вероятность гипотезы Hi после опыта

Апостернорная вероятность ( послеопытное) Р(Hi/A)

Априорная вероятность ( доопытная) Р (A/Hi)

Р(Hi/A)=формула Байеса

Где Р(А) - находится по ф-ле полной вероятности

8. Последовательность независимых испытаний

определение серии независимых испытаний;

Опр. Несколько опытов наз-ся независимыми, если их исходы представляют собой независимые события

формула (схема)Бернулли.

Схема последовательных испытаний: производится n-одинаковых и независимых опытов. В каждом из которых может произойти собтие А.

Вероятность того, что событие А произойдет в одном опыте равна p, p- вероятность успеха. q=1-p – вероятность неудачи в одном опыте

Вероятность того, что в n- опытах наступит m успехов определяется по формуле Бернулли

Pn(m)= , m=0, 1 … n

Опр. Наивероятнейшее число k0 наступления события А в схеме Бернулли определяется след. нер-вом np-q ≤ k0 ≤np+p

9. Случайные величины. Их виды и характеристики

Под случайной величиной понимается величина, принимающая в результате опыта какое либо числовое или качественное значение.

Основными характеристиками случайной величины, заданной своими распределениями, является математическое ожидание ( или среднее значение ) и дисперсия.

Математическое ожидание случайной величины является центром ее распределения. Дисперсия характеризует отклонение случайной величины от ее среднего значения.

определение непрерывной и дискретной случайной величины;

Опр.Случайная величина – это число, определяемое в случайном опыте

Случайная величина полностью определена, если известен исход опыта

Опр. Случ величина Х – это ф-ия ставящая в соответсвие каждому элементарному исходу определенное число

- функция распределения случайной величины и ее свойства;

С каждой случ. Величиной связывают ее ф-ию распределения

F(x) случайной величины Х – это ф-ия, значение которой в точке х равно вероятности события {X < x}

---

F(x)=P{X < x}

Св-ва ф-ий распределения

1. 0≤F(x) ≤1

2. )=0

)=1

3. ∀x1≤x2

F(x1) ≤F(x2)

Т.о F(x) неубывающая функция

4)F(x) – непрерывна слева (справа)

- плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины и ее свойства;

Плотностью распределения (или плотностью вероятности) непрерывной случайной величины X в точке x называется производная ее функции распределения в этой точке и обозначается f(x). График плотности распределения называется кривой распределения. Пусть имеется точка x и прилегающий к ней отрезок dx. Вероятность попадания случайной величины X на этот интервал равна f(x)dx. Эта величина называется элементом вероятности.

Вероятность попадания случайной величины X на произвольный участок [a, b[ равна сумме элементарных вероятностей на этом участке:

P{a ≤ X ≤ b} =

В геометрической интерпретации P{α≤X<β} равна площади, ограниченной сверху кривой плотности распределения f(x) и опирающейся на участок (α,β)

Это соотношение позволяет выразить функцию распределения F(x) случайной величины X через ее плотность:

F(x) =P{X < x} = P{ -∞< X < x =

---

10. Числовые характеристики случайных величин.

-математическое ожидание и дисперсия случайной величины;

Опр. Мат.ожидание случайной величины Х наз-ся ее среднее значение, если это значение существует. M(X)=mx=m

MX=

Условие существования мат. Ожидания

f(x)dx

Св-ва мат.ожидания:

1)Mc=c, c-const

2)M(aX+b)=aMX+b

3)M(X+Y)=MX+MY

4)M(XY)=MX*MY, тогда и только тогда, когда Х и У независимые случайные величины

Опр. Дисперсией случайной величины называется 2ой момент центрированной случ. Величины

DX=M(X-MX)²

DX=MX²-(MX)²=

Свойства дисперсии:

1)DX≥0

2)DC=0, c=const

3)D(aX+b)=a²DX

4)D(X+Y)=DX+DY, тогда и только тогда, когда X и Y неависимые случайные величины

- мода, медиана, квантиль;

Опр. Модой случайной величины наз-ся наиболее вероятное значение среди всех ее возможных значение М0(Х)

Если распределение непрерывное, то мода-это точка максимума плотности распределения

Если дискретное,то мода-это значение которое случ.величина принимает с наибольшей вероятностью

Опр. Медианой непрерывной случ.величины наз-ся число, которое делит всю область возможных значений на 2 части таким образом, что вероятность того, что значение случайной величины превысит медиану будет равно вероятности того, что оно будет меньше медианы

P{X<Me(X)}=P{X>Me(X)}=1/2

Опр. Квантиль Xp уровня р - это число определеяемое из уровня F(xp)=p.

F-функция распределения случ.величины, т.е. квантиль Хр – такое число, для которого вер-ть события, что случ. величина X окажется меньше этого числа равна величине уровня р.

P{X< Xр}=р

Для наиболее важных распределений представлены таблицы квантилей.

- начальные и центральные моменты k-ого порядка случайной величины.

Начальный момент порядка k

m_k = M =

центральный момент порядка k – мат.ожидание k-ой степени центрированной СВ

---

12.Предельные теоремы ТВ охватывают круг вопросов, связанных с поведением средних значений и их распределений в ситуациях, когда неограниченно возрастает количество случайных событий, участвующих в формировании величин. Эти теоремы имеют чрезвычайно большое теоретическое и практическое значение; создают теоретическое обоснование статистического определения вероятности; на них опирается весь аппарат мат.сатистики и ее приложений.

Неравенство Чебышёва

Пусть случайная величина Х имеет конечное мат.ожидание и дисперсию, тогда для любого положительного числа верно:P{|X - MX|≥ԑ}≤

Вероятность того, что случайная величина Х отклонится от мат.ожидания МХ не меньше, чем на , не больше отношения дисперсии к.

Теорема Чебышёва (закон больших чисел)

Пусть случайные величины Х₁, Х₂, … , Х_n независимы и их дисперсии равномерно ограничены, т.е. DX_i ≤ ,i=1, 2,…, тогда для любого > 0:

ԑ} = 1, где

среднее арифметическое случайных величин (величина случайная)

среднее арифметическое мат.ожиданий (неслучайная величина – детерминированное число)

Последовательность средних арифметических n случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их мат.ожтданий.

Следствие: Пусть случайные величины Х₁, Х₂, … независимы и одинаково распределены (MX_i = m, DX_i=,i=1,2…), тогда для любого :

---

ԑ} = 1, т.е. среднее арифметическое случайных величин сходится по вероятности к мат.ожиданию m.

Следствие теоремы Чебышёва обосновывает принцип среднего арифметического случайной величины X_i.

Пусть произведено n независимых измерений некоторой величины, истинное значение которой m неизвестно, результат каждого измерения есть случайная величина X_i, тогда в качестве приближенного значения величины m можно взять среднее арифметическое результатов измерений

m = =,причем равенство тем точнее, чем больше n.

На теореме Чебышёва основан также выборочный метод: о качестве большого количества однородного материала можно судить по небольшой его пробе. Закон больших чисел подтверждает связь между случайностью и необходимостью: среднее значение случайной величины = , почти НЕ отличается от неслучайной величины.

Следствия из закона больших чисел

1. Центральная предельная теорема (теорема Ляпунова)

Пусть случайные величины Х₁, Х₂, … независимы, одинаково распределены и имеют конечные мат.ожидания MX_i = m и дисперсии DX_i = .

Рассмотрим центрированные и нормированные случайные величины Y_n

Y_n = ; MY_n=0; DY_n=1, тогда P{Y_n < x}, где n

То есть сумма индивидуально малых случайных величин с ростом числа слагаемых сходится к нормальной функции распределения.

Если исход опыта определяется большим числом случайных факторов, влияние каждого из которых описывается нормальным распределением с соответственным образом подобранными мат.ожиданием и дисперсией.

2. Локальная теорема Муавра-Лапласа

---