Файл: Шпоры по математике (интегралы, теория вероятностей, статистика).docx

Если ф-ия f(x) неограниченна при х=с, то

Интеграл слева будет сходящимся, если сходятся оба интеграла справа.

Если справа хотя бы один интеграл расходится, то интеграл слева будет расходящимся.

Пример:

Вычислить

Ф-ия неограничена в точке х=0.

= =)=2=2

Интеграл сходится к числу 2.

4.Случайные события. Операции над случайными событиями.

- понятие случайного события;

- операции над случайными событиями;

- пространство элементарных событий;

понятие случайного события;

Опр. Объектом теории вероятностей яв-ся измерение степени возможности различных случайных результатов

Опр. Испытание или опыт – это комплекс условий в которых могут осуществиться или не осуществиться рассматриваемые события

Опр. Исход опыта – это неопределяемое интуитивное понятие

Опр. Случайное событие это событие, которое может произойти или не произойти в рез-те данного опыта

Случ. События А,В,С

Опр. События А и В называются совместными, если они могут произойти оба в результате одного опыта. В противном случае (то есть если они не могут произойти одновременно) события называются несовместными.

Опр. Достоверное событие – это событие, которое обязательно осущ-ся при данных условиях

Опр. Невозможное событие – это событие, которое никогда не произойдет при данных условиях

Полной группой событий наз-ся несколько таких событий, что в результате опыта обязательно произойдет хотя бы одно из них

Нескольк событий в данном опыте наз-ся равновозможными если по условиям симметрии опыта нет оснований считать какое-либо из них более возможным,чем любое другое.

Пример: 1 игр.кубик

---

Ак={выпадет r очков}

r=1,…,6

A1,…,A6 -равновозможные

операции над случайными событиями

Событие Ᾱ (не А) считается противоположным к А, если оно состоит в том, что А не происходит

Если несколько событий :

-образуют полную группу

-несовместны

-равновозможны,

То они наз-ся элементарными событиями.

Свойства

1)А+В=В+А

2)А+(В+С)=(А+В)+С

3)АВ=ВА

4)А(ВС)=(АВ)С

5)А(В+С)=АВ+АС

пространство элементарных событий

-это множество всевозможных взаимоисключающих исходов опыта(Ѡ)

Случайное событие А- это некоторое подмножество пространства элементарных исходов

Опр. Произведение событий А и В это событие С, которое состоит в том, что А и В происходит одновременно (С=А*В)

Опр. Суммой событий А и В наз-ся событие D, состоящее в том, что происходит или А, или В, или оба вместе (D=А+В)

Опр. Разностью событий А и В наз-ся событие С, состоящее из элементов А, которые не входят в В. С=А/В

Свойства

1)А+В=В+А

2)А+(В+С)=(А+В)+С

3)АВ=ВА

4)А(ВС)=(АВ)С

5)А(В+С)=АВ+АС

5. Вероятность случайного события

- аксиоматическое определение вероятности случайного события;

- классическое определение вероятности случайного события;

- статистическое определение вероятности случайного события;

- геометрическое определение вероятности случайного события;

аксиоматическое определение вероятности случайного события

1)Каждому случайному событию а, ставится в соответствии число р(а)

Из отрезка [0;1] которое наз-ся вероятностью события А.

2) Если И-достоверное событие, то Р(И)=1

3) Если А и В, то Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Следствия

1)Вероятность противоположного события

Р(Ᾱ)=1-P(A)

P(A)=1-P(Ᾱ)

2)Если V-невозможное событие, то P(V)=0

3)Пусть А1,А2,…,Аn –попарно несовместные события

Ai*Aj= Ø

i=1,…n

j=1,…n

тогда P()=

4)Для любых событий А и В,

Р(A+В)=P(A)+Р(В) -Р(АВ)

классическое определение вероятности случайного события

Пусть Ѡ={w1,…, wn} –пространство элементарных событий

---

n-общее число равновозможных и несовместных событий

A={wi1,…,wim}

m-число благоприятных событий

P(A)=m/n

При таком определении вероятности ограничивается сфера его практического применения, только такими событиями, которые допускают различие дискретных случаев .

Пример

1 монета

Ѡ={г;р}

Р(г)=1/2=Р(р)

2 монеты

Ѡ={гг;гр;рг;рр}

А={хотя бы одна решка}

Р(А)=3/4

статистическое определение вероятности случайного события

Пусть в рез-те большого числа опытов установлено,что частота случайного события приближается к некоторому числу.

Тогда это число в силу закона больших чисел принимают за численное значение вероятности данного события

Установление вероятности опытным путем носит несколько определенный характер

n=100

m1=53 –решка

m2=49

m3=51

р=0,50

геометрическое определение вероятности случайного события

это вероятность в экспериментах с бесконечным числом исходов

Исход опыта понимается как выбор на удачу точки, из некоторого множества

Множество имеет некоторую геометрическую форму.

Случайные события здесь : выбранная точка принадлежащая заданной части фигуры.

Вероятность такого события определяется как основание меры части фигуры к мере всей фигуры

6. Условная вероятность случайного события

- определение условной вероятности случайного события; - независимые случайные события;

- теоремы умножения случайных событий;

- теоремы сложения случайных событий;

определение условной вероятности случайного события;

- независимые случайные события;

Опр. События А и В наз-ся независимыми, если вероятность одного из них не меняется в зависимости от того, произошло 2ое или нет

Опр. События А и В наз-ся зависимыми если вероятность одного из них меняется в зависимости от того, произошло 2ое или нет

P(A|B)-это условная вероятность события А при условии, что событие В состоялось

Р(А) – безусловная вероятность

Пример:

27 годных и 3 бракованные детали. Вытаскиваем одну делать

В={1й раз годная деталь}

---

A={2 ой раз годная деталь}

Р(A|В)=26/29

Р(A|В)=27/29

Вероятность А меняется в зависимости от того, произошло В или нет. Следовательно события А и В – зависимы

теоремы умножения случайных событий

1.Для 2х событий

Р(АВ)=

Вероятность произведения 2х независимых событий равна произведению вероятностей этих событий

Вероятность произведения 2х независимых событий равна произведению одного из них на условную вер-ть второго при условии, что первое событие состоялось

Следствие 1.

Любые 2 несовместные события, имеющие ненулевые вероятности

Р(А) ≠0

Р(В) ≠0

Всегда зависимы

Р(АВ)=0 – условие несовместности

Следствие 2.

Р(А|В)=P(АВ)/Р(В), Р(В) ≠0 формула условной вероятрности

Условная вероятность события А при условии В,

Р(A|B) равна отношению вероятности совместного появления событий А и В к безусловной вероятности события В(P|B),если Р(В) ≠0

---

2.Теорема умножения для n-событий

Р(А1,А2,…Аn)=

1.Вероятность произведения n-независимых событий равна произведению вероятностей этих событий

2.Вероятность произведения n-независимых событий равна произведению вероятностей этих событий причем, вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие произошли

теоремы сложения случайных событий

1).для 2х событий

Р(А+В)=

1)Вероятность суммы 2х несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

2)Вероятность суммы 2х совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность совместного появления

2)для n-событий

P(=P(Ai*…*An), если A1…An – совместные

Следствие 3

1)Вероятность суммы n-несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

2)Вероятность суммы n-совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус сумма вероятностей того, что события появляется парами AiAjAk минус и тд с соответсвующим знаком последний член: вероятность совместного появления всех событий

Следствие

Р(А+В+С)=Р(А)+Р(В)+Р(С) – Р(АВ)-Р(АС)-Р(ВС)+Р(АВС)

Сумма вероятностей событий образующих полную группу равна 1, если Ai…An – полная группа, то

7.Схема гипотез. Формула полной вероятности. Формула Байеса

Формула полной вероятности

Пусть событие А происходит одновременно с одним из событий Н1…Нn –гипотезы

Гипотезы должны удовлетворять след. условиям

Полная группа событий

Пусть известны вероятности гипотез P(H1)…P(Hn) и условная вероятность события А при каждой гипотезе

Р(А|Н1)…Р(А|Hn),тогда вероятность события А можно найти по формуле полной вероятности

Р(А)=

Формула Байеса

---