Файл: Шпоры по математике (интегралы, теория вероятностей, статистика).docx

Пусть производится опыт в схеме Бернулли.

Если число опытов n , то для вероятности того, что число успеховX будет равно m, верно равенство: P{X=m},

где - плотность нормального распределения.

3. Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Пусть производится опыт в схеме Бернулли. Тогда вероятность того, что число успехов Х попадет в интервал (m₁, m₂) может быть определена по формуле: P{m₁ < X < m₂}

13.Мат.статистика – раздел математики, в котором изучаются методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений массовых случайных явлений для выявления существующих закономерностей.

Предметом мат.статистики является изучение случайных величин по результатам наблюдения.

Задачи мат.статистики: 1. Обработка экспериментальных данных

2. оценивание характеристик

3. проверка статистических гипотез

Генеральная совокупность – множество всех подлежащих изучению объектов или возможных результатов всех наблюдений, производимых в неизменных условиях над одним объектом.

Выборочная совокупность (выборка) – множество объектов, отобранных случайным образом из генеральной совокупности.

Объем выборки – число объектов в ней.

Выборочный метод – метод статистического исследования, состоящий в том, что на основе выборочной совокупности делается заключение о генеральной совокупности.

Выборка репрезентативна (представительна) если соблюдается случайность отбора, т.е. все объекты генеральной совокупности должны иметь равные вероятности попасть в выборку.

Вариационный ряд выборки – упорядоченная в порядке возрастания перестановка элементов выборки.

---

Процедура упорядочивания называется ранжированием, а номер элемента выборки в вариационном ряду – рангом элемента.

Размах выборки d = x_max - x_min

Если среди элементов выборки имеется r различных чисел z₁, z₂, … , z_r и число z_i, встречается n_i раз, то z_i – варианта, а n_i – частота.

Статистический ряд – таблица из двух строк, в которой в верхней строке находятся упорядоченные в порядке возрастания варианты z_i, а во второй строке – соответствующие частоты n_i. ∑n_i = n, где n – объем выборки.

Относительная частота варианты x_i – число, равное ; W_i .

Пусть х – некоторое число, тогда число вариант n_x, значение которых <x, называется накопленной частотой. n_x = .

Статистические ряды бывают дискретными и интервальными.

Интервальный (группированный) статистический ряд – ряд, в котором весь размах выборки разбит на некоторое количество промежутков x_i-1 < x < x_i, причем соседние элементы вариационного ряда, принадлежащие одному промежутку, не различаются по величине – им назначается одна варианта, представляющая весь интервал (обычно середины интервала), а их общее число составляет частоту, назначаемую этой варианте. Если варианта находится на границе интервала, то ее присоединяют к левой границе. При выборе способа разбиения, обычно, но не обязательно, выбирают интервалы одинаковой ширины. При выборе числа интервалов обычно, но не обязательно, пользуются правилом Стерджеса: r.

Выборочная (эмпирическая) функция распределения F*(x) – функция, значение которой в точке х равно накопленной частоте. F*(x) = .

Графические представления выборки

Пусть дан дискретный статистический ряд

Полигон частот – ломаная, соединяющая точки плоскости с координатами (x_i;n_i).

---

Пусть выборка задана интервальным статистическим рядом.

Гистограмма частот – ступенчатая фигура из прямоугольников с основаниями, равными длине интервала , и высотами, равными h_i = ;S = n.

Гистограмма относительных частот (эмпирическая плотность распределения f*(x)) – фигура из прямоугольников с основаниями и выстотами h_i = ;S = 1.

Выборочные (эмпирические) числовые характеристики – это приближенные значения соответствующих числовых характеристик генеральной совокупности, определяемые по выборке.

Выборочное среднее (выборочное мат.ожидание) – среднее арифметическое результатов наблюдений. (интервальный статистический ряд);(дискретный статистический ряд).

Выборочное среднее дает приближенное значение мат.ожидания генеральной совокупности.

Выборочная дисперсия – число, определяемое формулой:

. Выборочная дисперсия служит приближенным значением дисперсии генеральной совокупности.

, где =.

- выборочное СКО, которое дает приближенное значение для СКО генеральной совокупности.

Наряду с выборочной используется уточненная (исправленная) выборочная дисперсия

14.Основная задача мат.статистики состоит в нахождении конкретных законов распределения вероятности наблюдаемой случайной величины Х по данным выборки. Во многих случаях вид распределения можно считать известным, и задача сводится к получению приближенных значений неизвестных параметров этого распределения.

F(x, ) – функция распределения случайной величины Х, содержащая 1 неизвестный параметр .

---

Любая функция элементов выборки называется статистикой или статистической оценкой. – значение по выборке; (x₁, … ,x_n)

Точечной оценкой неизвестного параметра называется приближенное значение этого параметра, полученное по выборке. Точечная оценка означает, что оценка представляет собой единственное число, которое изображается точкой на числовой оси.

Критерии качества статистических оценок

1. Несмещенность: - оценка называется несмещенной оценкой , если ее мат.ожидание М(равно оцениваемому параметру

- М() - - смещение

- испольвание смещенной статистической оценки приводит к систематической ошибке, т.е. к неслучайной ошибке, искажающей оценки результатов измерений в одну определенную сторону, поэтому соблюдение требования несмещенности гарантирует от влияния систематических ошибок при вычислении оценки .

2. Состоятельность: (x₁, … ,x_n)

- оценка _n называется состоятельной оценкой , если _n сходится по вероятности к при увеличении объема выборки

- для любого ԑ > 0

Теорема: Если М(_n) иD(_n) ,n , то_n – это состоятельная оценка параметра .

---

3. Эффективность: - несмещенная оценка называется эффективной в классе оценок_i, если она имеет наименьшую дисперсию:

D() =

Теорема 1. Выборочное среднее называется несмещенной, состоятельной и эффективной оценкой мат.ожидания в классе всех линейных оценок.

Теорема 2. Выборочная дисперсия является смещенной оценкой генеральной дисперсии, т.к. можно показать, чтоM() =, но исправленная выборочная дисперсияявляется несмещенной, состоятельной и эффективной оценкой в классе всех квадратных оценокM() =, где.

Замечание: Оценку нужно использовать во всех случаях, когда использование оценкиможет повлиять на значение цифры результата.

Точечные оценки математического ожидания и дисперсии

Выборочное среднее (выборочное мат.ожидание) – среднее арифметическое результатов наблюдений. (интервальный статистический ряд);(дискретный статистический ряд).

Выборочное среднее дает приближенное значение мат.ожидания генеральной совокупности.

Выборочная дисперсия – число, определяемое формулой:

. Выборочная дисперсия служит приближенным значением дисперсии генеральной совокупности.

, где =.

---