Файл: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.03.2025

Просмотров: 3997

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

95

C

dU

V

dT

T 0

0

.

2.7. Классические распределения частиц идеального газа

2.7.1. Функция распределения

Пусть имеется термодинамическая система из N частиц; ξ – величина, характеризующая частицу. Вероятность того, что величина ξ будет иметь значение ξi,

Pi

где Ni – количество частиц, для которых ξ

N

i

,

N

= ξi.

Условие нормировки:

Pi 1

(так как то, что величина ξ примет какое-нибудь значение, есть достоверное событие).

Среднее значение величины ξ:

ξ

Niξi

Pξi

i .

N

Если величина ξ изменяется непрерывно, то вероятность того, что ξ = (ξ, ξ + dξ)

dP ξ f ξ dξ ,

где f(ξ) – функция распределения вероятности (плотность вероятности).

ПРИМЕР

Распределение Гаусса

Распределение Гаусса – это функция ви-

да

f(ξ)

f ξ Ae

α ξ ξ

2

,

0

где ξ0 – постоянная, α – положительная

постоянная; коэффициент A находится

из условия нормировки (см. НИЖЕ).

График распределения Гаусса показан

0

ξ0

ξ

на РИС. 11.3.

По такому закону распределяются ре-

Рис. 11.3

зультаты серии большого числа слу-

чайных измерений32.

Демонстрация: Доска Гальтона

Свойства функции распределения33

1.Определённость и непрерывность во всей области определения ξ(a, b)

32Результаты серии небольшого числа случайных измерений (N 10) подчиняются распределе-

нию Стьюдента (см. ВВОДНУЮ ГЛАВУ ЛАБОРАТОРНОГО ПРАКТИКУМА).

33В «живой» лекции эти свойства можно записать математическими значками.

96

2.Дифференцируемость во всей области определения

3.Интегрируемость во всей области определения

4.Условие нормировки (нормируемость):

b f ξ dξ

a

1

.

Зная функцию распределения, можно найти среднее значение любого параметра, зависящего от ξ.

Среднее значение ξ

b

ξf ξ dξ

.

ξ

a

Среднее значение квадрата ξ

b

f ξ dξ

.

ξ

2

ξ

2

a

Среднее значение функции φ(ξ)

b

φ ξ f ξ dξ

.

φ

a

Наиболее вероятное значение ξ

df ξ

0

ξвер.

dξ

Дополнительное задание

Найти по РАСПРЕДЕЛЕНИЮ ГАУССА (a → –∞, b → ∞): нормировочный множитель A,

ξ

2

, ξвер.

ξ

,

97

Лекция 12

2.7.2. Распределение молекул идеального газа по скоростям (распределение Максвелла)

Молекулы идеального газа движутся хаотически, но в этом хаосе есть закономерности. Рассмотрим идеальный газ из N частиц.

Теперь случайная величина ξ – это модуль

vz

скорости v молекул идеального газа.

dv

Найдём функцию распределения f(v).

Рассмотрим

подпространство фазового

пространства

– пространство скоростей

v

(vx, vy, vz). Плотность изобразительных то-

чек в этом пространстве будет равна Nf(v).

Количество точек в сферическом слое ра-

O

vy

диуса v толщиной dv (РИС. 12.1)

dN Nf v 4πv2dv .

vx

Рис. 12.1

плотность вероятности

Вероятность попадания изобразительных точек в этот слой

dP

dN

2

N

f v 4πv dv ;

F v dP

f v 4πv2

dv

Так как все направления равноправны,

f v φ

v

x

1

φ

v

φ

v

2

y

3

z

,

(12.1)

функции φ1, φ2, φ3 одинаковы: φ1 = φ2 = φ3 = φ.

(12.1):

ln f v lnφ v

x

lnφ v

y

Продифференцируем это выражение по vx:

Прологарифмируем выражение

lnφ vz .

(12.2)

1

df v

v

1

dφ v

x

;

f v

dv

v

φ v

dv

x

x

x

vy

v

vx

vz

2v

v

2

2

2

vx

vx

x

v

x

2

v

2

v

2

2

v

x

y

z

1

vx

1

f

φv

v

f v

fv

v

φ vx

φv

x

x

v f v

vxφ vx

Аналогично, продифференцировав (12.2) по vy, vz, получим

fv

φ

fv

v y

,

φvz

.

v f v

vyφ vy

v f v

vzφ vz

;

.

Получается, что

98

f

const . Положим

f

α . Тогда

v

v

v f v

v f v

1

dφ vx

α .

vxφ vx

dvx

Решим это дифференциальное уравнение методом разделения переменных:

dφ v

x

αv dv

φ v

x

x

x

ln

φ v

αv

2

const

x

x

2

φ

2

αv

v

Ae

x

x

2

.

Аналогично

αv2y

φ vy Ae 2

, φ

2

αv

v

Ae

z

z

2

.

По формуле (12.1)

α

2

2 2

αv

2

f v A e

vx

v y vz

A e

.

3

2

3

2

Выразим коэффициент A из условия нормировки:

αv

2

x

φ vx dvx φ vy dvy φ vz dvz 1

A e

dvx 1.

2

(12.3)

Определённый интеграл в последнем выражении поддаётся вычислению в эле-

ментарных функциях; в результате получим

A

α

. Подставим этот коэффици-

2π

ент в выражение для f(v) (12.3):

3

2

α

2

αv

e

f v

2

2π

Найдём α. С одной стороны,

.

m

v

2

1

3

kT

v2x

0

2

x

3

2

kT

m0

(ср. РАЗДЕЛ 2.3.2), здесь m0 – масса молекулы. С другой стороны,

φ vx dvx .

2

2

vx

vx

Отсюда можно получить

α

m

0

kT

Итак,

.

m

m v

2

φ v

e

0

x

x

0

2kT

2πkT

аналогичные выражения для φ(vy), φ(vz);

,

99

3

2

m

2

m v

f v

e

0

0

2kT

;

2πkT

(12.4)

3

2

m

2

m v

F v

4πv e

0

0

2

2kT

2πkT

– функция распределения Максвелла. График этой функции представлен на

РИС. 12.2.

F(v)

T1

T2 > T1

0

v

Рис. 12.2

Физический смысл площади под этой кривой на участке (v1, v2) – доля молекул со скоростями от v1 до v2

N N

v2 F v dv

v1

.

При нагревании доля молекул с большими скоростями возрастает, а доля молекул с малыми скоростями убывает.

Наивероятнейшая скорость молекулы идеального газа – скорость, соответствующая максимуму функции распределения F(v). Вычислим её:

dF v dv

0

v vвер

2

2

m v

m 2v

m v

0

вер

0 вер

2vверe

2

0

вер

e

2kT

vвер

2kT

2kT

0

,

vвер

2kT

2RT

.

m

μ

0

Средняя скорость молекулы идеального газа:

8kT

8RT

v vF v dv ,

v

.

0

πm0

πμ

Средняя квадратичная скорость молекулы идеального газа:

Смотрите также файлы