Файл: Glava10.pdf

Квазигармоническое шумовое колебание можно представить в виде суммы двух квадратурных составляющих:

u(t) = U (t)cos[w0t + j(t)] = U (t)cos j(t) × cos w0t -U (t)sin j(t) ×sin w0t =

ставляющая.

Низкочастотные косинусная и синусная составляющие колебания представляют собой медленно изменяющиеся по сравнению с u(t) случайные процессы.

Из раздела «Основы теории случайных процессов» курса «Радиотехнические цепи и сигналы» известно, что синусная и косинусная составляющие квазигармонического случайного процесса имеют следующие основные свойства [1].

1)U c (t) и U s (t) являются нормальными случайными процессами с нулевым средним значением:

U s (t) = U c (t) = 0 .

2)Дисперсии низкочастотных составляющих одинаковы и равны дисперсии квазигармонического шума

3) АКФ этих составляющих также одинаковы и равны

KU c (t) = KU s (t) = Uш2 y(t) ,

где ψ(τ) – огибающая нормированной АКФ шума.

Замечание: свойство 2 – частный случай свойства 3, поскольку U (t)2 = KU (0) .

4)В совпадающие моменты времени синусная и косинусная низкочастотные составляющие взаимно некоррелированы:

U c (t)U s (t) = 0.

Замечание: если энергетический спектр шума симметричен относительно частоты ω0 , то его составляющие взаимно некоррелированы в любые моменты

времени (U c (t1 )U s (t2 ) = 0), а поскольку это – нормальные случайные процес-

сы, то они и статистически независимы. Однако в дальнейшем это более сильное утверждение использоваться не будет.

5)Огибающая квазигармонического колебания выражается через синусную и косинусную составляющие как

Свойство 3 определяет важное соотношение между автокорреляционными функциями квазигармонического шума и его низкочастотных квадратурных составляющих: огибающей АКФ квазигармонического колебания является АКФ его косинусной (либо синусной) низкочастотной составляющей. Поэтому АКФ квазигармонического шума можно записать как

K (τ) = KU c (τ) cos ω0τ = KU s (τ) cos ω0τ .

Статистические характеристики огибающей шума на выходе БВЧ. Известно, что огибающая нормального квазигармонического случайного процесса имеет распределение Релея:

Распределение Релея имеет максимум при U = Uш , следовательно наиболее вероятное значение огибающей равно Uш .

Основные статистические характеристики огибающей выражаются через эффективное напряжение квазигармонического шума Uш следующим образом:

· среднее значение (постоянная составляющая) огибающей

(следовательно, среднее значение огибающей больше наиболее вероятного);

· средний квадрат (полная мощность на единичном сопротивле-

нии) огибающей*)

∞

U 2 = ∫U 2 w(U )dU = 2Uш2 ;

0

·дисперсия (мощность переменной составляющей на единичном сопротивлении) огибающей:

·среднеквадратичное отклонение (СКО) (эффектное напряжение переменной составляющей) огибающей:

sU = 4 - pUш » 0, 66Uш . 2

Огибающая квазигармонического колебания – стационарный случайный процесс. Однако, её среднее значение не равно нулю, поэтому АКФ огибающей определяется как

KU (t) = U (t) -U (t) U (t + t) -U (t + t) .

Представим АКФ огибающей в нормированном виде:

KU (t) = sU2 rU (t) ,

где ρU (τ) – нормированная АКФ огибающей. Известно, что нормированная АКФ огибающей выражается через огибающую нормирован-

Для практических расчетов в ряде оставляют только 1-й член и с погрешностью около 10% принимают, что

ρU (τ) ≈ ψ2 (τ) .

Таковы основные статистические характеристики огибающей квазигармонического шума.

Выражение для энергетического спектра огибающей шума получим позднее, а сейчас рассмотрим статистические характеристики огибающей смеси сигнала и шума.

Статистические характеристики огибающей смеси сигнала и шума на выходе узкополосного БВЧ. Рассмотрим основные статисти-

ческие характеристики огибающей суммы немодулированного гармонического сигнала и узкополосного (квазигармонического) шума. Соотношение интенсивностей сигнала и шума будем характеризовать параметром, равным отношению амплитуды сигнала к эффективному напряжению шума:

a = Uс . Uш

Для упрощения анализа примем, что частота сигнала совпадает с центральной частотой спектра шума ω0 (это условие часто выполняется на практике):

uс (t) = Uс cos ω0t .

Представим шум в виде суммы квадратурных составляющих:

uш (t) = Uшc (t) cos ω0t − Uшs (t)sin ω0t .

Тогда сумма сигнала и шума будет равна

=Uсc+ш (t)cos ω0t − Uсs+ш (t)sin ω0t =

=V (t)cos[ω0t + θ(t)] ,

где Uсc+ш (t) = Uшc (t) +Uс и Uсs+ш (t) = Uшs (t) – косинусная и синусная низкочастотные составляющие суммы сигнала и шума; V (t) и θ(t) – огибающая и фаза суммы сигнала и шума соответственно.

Огибающая и фаза суммы сигнала и шума выражаются через низкочастотные квадратурные составляющие следующим образом:

Комплексную огибающую суммы сигнала и шума можно представить с помощью векторной диаграммы, изображённой на рис. 10.2.

Рис. 10.2. Векторная диаграмма комплексной огибающей суммы сигнала и шума

Огибающая суммы сигнала и шума равна длине суммарного вектора:

= &

V (t) U (t)с+ш (t) .

Плотность вероятности огибающей суммы сигнала и шума описывается законом Райса

где I0 (×) – модифицированная функция Бесселя 0-го порядка.

Вид распределения Райса зависит от величины отношения сиг-

нал/шум a = Uс . Рассмотрим два предельных случая:

Uш