Файл: Glava10.pdf

Формулу для энергетического спектра огибающей шума в случае прямоугольного спектра шума можно получить и на основе более наглядных рассуждений.

Вспомним, что АКФ косинусной составляющей узкополосного шума равна

Следовательно, Ψ(τ) – нормированная АКФ косинусной состав-

ляющей

Ψ(τ) = ρUШС (τ) .

Косинусная составляющая – это НЧ процесс. Его математический (двусторонний) энергетический спектр получается сдвигом спектра узкополосного шума на нулевую частоту:

Физический (односторонний) спектр узкополосного шума

Математический ((двусторонний) спектр узкополосного шума

Физический спектр косинусной составляющей.

Т.о. Ψ(τ) GUшС.м (Ω) .

По теореме о свёртке квадрату АКФ Ψ2 (τ) соответствует свёртка

GUшС.м (Ω) с самим собой:

Ψ2 (τ) (GUшС.м GUшС.м )(Ω) .

Для прямоугольного спектра эта свёртка имеет вид треугольника:

Найдём GU (0) . Для этого приравняем два выражения для дисперсии огибающей шума. С одной стороны,

с другой стороны,

10.3. Прохождение сигнала и шума через ЧД

Для анализа прохождения смеси сигнала и шума через ЧД нужно определить статистические характеристики мгновенной частоты этой смеси. Для этого коротко, на качественном уровне, рассмотрим статистические свойства мгновенной частоты суммы немодулированного гармонического сигнала и узкополосного шума. При этом так же, как и ранее, будем считать, что частота сигнала совпадает с центральной частотой спектра шума ω0. Плотность вероятности мгновенной частоты в общем случае имеет сложный вид. В отсутствие сигнала она равна

ω0, поэтому среднее значение ω = ω0 .

С увеличением отношения С/Ш концентрация плотности вероят-

ности вокруг ω0 возрастает:

W(ω)

С/Ш

ω

∞

σω2 = ∫ (ω − ω0 )2 w(ω)dω → ∞ , т.е. дисперсия мгновенной частоты не су-

−∞

ществует (бесконечно велика). Это обусловлено резкими изменениями (перескоками) фазы смеси С+Ш, которым соответствуют выбросы мгновенной частоты (это явление мы рассмотрим позднее). Поэтому интенсивность флуктуаций мгновенной частоты характеризуется сред-

ним абсолютным отклонением

∞

Sω = ω − ω0 = ∫ ω − ω0 w(ω)dω < ∞ .

0

Рассмотрим автокорреляционную функцию и энергетический спектр отклонения мгновенной частоты смеси сигнала и шума от ω0.

Отклонение мгновенной частоты равно

Δω(t) = ω(t) − ω0 = dθ(t) , dt

где θ(t) – фаза смеси сигнала и шума. Из векторной диаграммы

Рассмотрим предельный случай большого отклонения С/Ш : a = UC 1.

U Ш

Мы ограничимся только этим случаем, поскольку:

1.при этом получаются простые выражения для АКФ и энергетического спектра;

2.только в этом случае приемник ЧМ сигналов обеспечивает высокое

качество приема.

Векторная диаграмма имеет следующий вид:

θ(t)

U ШS (t)

Видно, что на изменение фазы θ(t) в первую очередь влияет изменение синусной составляющей шума:

Таким образом, в данном случае отклонение мгновенной частоты смеси сигнала и шума пропорционально скорости изменения синусной составляющей квазигармонического шума.

Для определения АКФ отклонения мгновенной частоты воспользуемся выражением для АКФ производной случайного процесса. Известно, что она равна 2-й производной АКФ процесса, взятой со знаком "–" ( минус ).

Поэтому при a >> 1 АКФ отклонения мгновенной частоты равна

Исходя из этого выражения, определим энергетический спектр отклонения мгновенной частоты. Поскольку энергетический спектр (математический!) равен преобразованию Фурье от АКФ:

[ используем букву Ω, чтобы не путать с мгновенной частотой ω] то двукратному дифференцированию АКФ соответствует двукратное

умножение математического энергетического спектра на jΩ, т.е. на

−Ω2 :

Следовательно, при большом отношении С/Ш энергетический спектр мгновенной частоты смеси сигнала и шума пропорционален энергетическому спектру синусной составляющей шума, умноженному на квадрат текущей частоты:

математические спектры

т.к. GΔω (F ) = 2GΔω м (2πF ) , то

Физические спек-