Файл: Glava10.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 18.03.2025

Просмотров: 375

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Прохождение сигнала и шума через тракт РПУ

10-11

V

−

V 2

= 0 I0

(0) = 1 w(V ) =

1) Uc

e 2Uш2

– распределение Релея.

U 2

ш

Это естественный результат, поскольку в отсутствие сигнала остаётся один шум.

2)

a =

Uс

→ ∞ I

(x) →

e

x

w(V ) →

V

1

VUс

−V 2 +Uс2

=

e

Uш2

e

2Uш2

Uш

0

2πx

Uш2

2π

VU

с

U 2

ш

1

−

(V −Uс )2

V

2

=

e

2Uш .

U

с

U

ш

2π

Плотность вероятности нормального распределения практически полностью сосредоточена на интервале [Uс − 3Uш , Uс + 3Uш ]. А по-

скольку U

U

, то здесь

V

≈ 1.

с

ш

Uс

Поэтому окончательно

w(V ) →

1

−

(V −Uс )2

2

e

2Uш

– нормальное распределение со средним

U

ш

2π

= 1 для различных

U

с

и дисперсией U 2

. Распределение Райса при U

ш

ш

значений Uс показано на рис. 10.3.

Рис. 10.3. Плотность вероятности распределения Райса при Uш = 1

Переход распределения Райса в нормальное распределение при большом отношении сигнал/шум качественно можно объяснить с помощью векторной диаграммы, изображённой на

рис. 10.4. При a = Uс 1

Uш

синусная составляющая шума практически не влияет на огибающую

Прохождение сигнала и шума через тракт РПУ

10-12

суммы сигнала и шума, и поэтому

V (t) =

&

с+ш (t)

≈ U

с + U

c

(t) . А по-

U

ш

скольку косинусная составляющая шума Uшc (t) имеет нормальное рас-

пределение с нулевым средним и дисперсией Uш2 , то огибающая V при a 1 имеет также нормальное распределение со средним значением

U

с

и дисперсией U 2 .

ш

&

(t)

Uс+ш

s

&

ш (t) jU

(t)

U

ш

&

U

c

(t)

Uс

ш

Рис. 10.4. Векторная диаграмма комплексной огибающей суммы сигнала и шума при a 1

Математическое ожидание (среднее значение) огибающей суммы сигнала и шума в общем случае равно

∞

V = ∫VwРайса (V )dV = UшМ (a) ,

0

где

−

a2

a

2

a

2

a

2

a

2

M (a) =

πe 4

1

+

I

+

I1

.

0

2

2

4

2

4

Для удобства определения V используется график функции M (a), изображённый на рис. 10.5. Пунктирной линией показана асимптота кривой.

Рис. 10.5. График функции M(a)

Прохождение сигнала и шума через тракт РПУ

10-13

При a > 1 M (a) ≈ a2 + 1 (при a = 2 относительная погрешность

составляет около 2%), а при a >> 1 (практически при

a > 3)

M (a) ≈ a =

Uс

. Следовательно, в этом случае

≈ U

. При a = 3

отно-

V

с

Uш

сительная погрешность этого приближённого равенства составляет около 10%.

Дисперсия огибающей суммы сигнала и шума равна

∞

σV2 = ∫(V − V )2 wРайса (V )dV = Uш2 N 2 (a) ,

0

где N (a) = 2 + a2 − M 2 (a) . График функции N (a) приведён на рис. 10.6.

Рис. 10.6. График функции N(a)

При a >> 1 (практически при a ³ 5 ) N (a) ≈ 1*) и, следовательно,

σ2

≈ U 2 .

V

ш

Теперь рассмотрим автокорреляционную функцию огибающей, которая в дальнейшем будет использована для определения энергетического спектра. Прежде всего отметим, что вид АКФ зависит от отношения сигнал/шум. Действительно, если сигнал отсутствует (а=0), то нормированная АКФ огибающей шума равна

ρV (τ) ≈ ψ2 (τ) .

*) Оценивая асимптотическое поведение N (a) , нужно считать, что M 2 (a) ≈ a2 +1 .

Прохождение сигнала и шума через тракт РПУ

10-14

В другом предельном случае, когда отношение сигнал/шум велико ( a 1), огибающая суммы сигнала и шума приближённо равна

V (t) » Uс +Uшc (t)

и, следовательно,

ρV (τ) ≈ ρUшc (τ) = ψ(τ) .

Таким образом, при большом отношении сигнал/шум нормированная АКФ огибающей приближённо равна огибающей нормированной АКФ узкополосного шума.

Можно показать, что при средних значениях отношения сигнал/шум АКФ огибающей приближённо равна взвешенной сумме АКФ в указанных предельных случаях:

(t) »

4 − π

2

( f ) × y

2

KU

U

2

ш

b1 (a) × y(t) + b2

(t) .

Заметим, что в соответствии с этой формулой при a >> 1

диспер-

сия огибающей равна s2

= K

(0) »

4 - p

×

8

U

2 »

Uш2

=1,09U

2

вместо

0,915

V

U

2 p

ш

ш

Uш2 . Это связано с приближенным характером формулы.

Зависимость коэффициентов b1 и b2 от отношения сигнал/шум определяется следующими выражениями [2, с. 497, формула (11.52)]:

a2

a

2

a

2

2

−

b1 (a) =

ae

4 I0

+ I1

,

4

4

−

a2

2

2

−

a2

a

2

2

b2

(a) = e 4

I

0

a

+

e 4

I1

,

4

4

где I0 (×), I1 (×) – модифицированная функция Бесселя 0-го и 1-го порядка соответственно.

Теперь рассмотрим спектральные характеристики огибающей смеси сигнала и шума. Мы знаем, что АКФ огибающей шума равна

KU (t) = sU2 r(t) » 4 − πUш2 y2 (t) . 2

Смотрите также файлы