Файл: lektsii_sopromat_6-10.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 22.03.2025

Просмотров: 478

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

1. Рассмотрим вначале статическую сторону задачи.

Из уравнений статики для всей системы определим опорные реакции

прZ 0 → Az Bz 0

прY 0 → Ab Bb q l 0

momB 0

→

Az

h Ab

l q

l 2

0

2

Отсюда выразим опорные реакции через неизвестное пока натяжение нити - H

A B H ,

A

ql

H

h

,

B

ql

H

h

z z

b

2

l

b

2

l

Определим растягивающее усилие в нити, для чего рассмотрим равновесие отсеченной части

прZ 0 → H Tz

0,

прY 0 → Ab Ty q z 0/

Отсюда T (z) H ,

T

H

h

q (

l

z)

z

y

l

2

Растягивающее усилие в произвольном сечении равно

h

T (z) (T 2

T 2 ) H

1

z

y

l

q l

q

2

z

.

2H

H

Максимальное значение растягивающего усилия имеет место при z = l

h

q l

2

T

H 2

H

,

(1)

max

l

2

то есть Tmax f (H ) является функцией от натяжения нити.

Для нитей с небольшим провисанием максимальное растягивающее усилие приблизительно равно усилию натяжения Tmax H , поэтому для таких нитей

расчет на прочность ведется по величине натяжения Н.

Из третьего уравнения равновесия отсеченной части нити определим выражение для провисания y(z)

momk

0

→ Ab

z H y q

z 2

0 .

2

1

qz

2

Отсюда

y(z)

Ab z

.

2

H

После подстановки выражения для опорной реакции Ab , получим

h

ql

qz 2

y(z)

z

.

(2)

l

2H

2H

Определим максимальное значение провисания из условия

dy

0 .

dz

dy

h

ql

qz

0 →

l

H h

1

Hh

z*

l

(3)

2

dz l 2H H

2 ql

2

ql

h

ql

l

Hh

q

l

Hh 2

y

(z) y(z

)

max

*

2 ql

2H

2

ql

l

2H

После преобразований, получим

y

h

1

ql 2

1

Hh2

(4)

max

ql 2

2

8 H

2

Замечание: максимальное провисание может лежать вне пролета

Из выражения (3) следует, что z

l , если H

ql 2

.

*

2h

Наибольшее провисание в пределах пролета (отклонение изогнутой линии нити от прямой, соединяющей опоры) называется стрелой провисания – f.

Из выражения (2) при z = l/2 имеем

h

ql

l

q

l

2

h

ql 2

y(l / 2)

l

2H

2

2H

2

2

8H

Из рисунка видно, что

f

h

y(l / 2)

ql 2

.

(5)

2

8H

Выразим из последнего выражения натяжение нити через неизвестную пока величину – стрелу провисания

H

ql 2

.

(6)

8 f

2. Для раскрытия статической неопределимости рассмотрим геометрическую сторону задачи. А именно, выразим длину подвешенной нити S через провисание f и длину пролета l.

Рассмотрим элемент нити длиной dz

dy

2 0,5

1

dy

2

ds

(dz 2 dy2 )

1

dz 1

dz

dz

2

dz

Дифференцируя выражение (2), получим

dydz hl 2qlH Hq z ,

где

A

h2

l 2

dy

2

2

A Bz Cz

,

dz

q l

2

q h

, B 2

q h

q 2l

C

q2

,

2

H 2

2H

Y

H l

H

l

Вычислим длину подвешенной нити

S ds . Пропуская промежуточные

0

вычисления, получим

S l

h2

1

q2l 3

.

(7)

2l

24

H 2

Удлинений подвешенной нити ΔS равно S S L , где L - длина неподвешенной нити (при монтаже). Очевидно, что не обязательно L l0 .

Итак,

S l

h2

1

q2l 3

L .

(8)

2l

24

H 2

С другой стороны выразим удлинение нити как сумму удлинений от натя-

жения SH

и от температурного воздействия St .

Для пологих нитей за расчетное растягивающее усилие можно приближенно принять натяжение нити. Тогда удлинение от натяжения можно вычислять по известной формуле сопротивления материалов

S

H l0

H l

H

E F

E f cos( )

где φ – угол подъема подвешенной нити.

Кроме удлинения нити от натяжения, необходимо учесть удлинение от температуры окружающей среды

St l0 (t t0 )

l

(t t

0 ) ,

cos( )

где α - коэффициент температурного расширения материала нити, t0 - начальная температура нити (температура отсчета), t - температура окружающей среды.

Итак

S SH St .

(9)

Приравняем выражения (8) и (9)

l

h2

1

q2l 3

L

H l

(t t

)

l

E F cos( )

cos( )

2l

24

H 2

0

Отсюда определим монтажную длину нити, выраженную через натяжение,

нагрузку и температуру

L l

h2

1

q2l 3

H l

(t t

)

l

.

(10)

2l

24

H 2

E F cos( )

0

cos( )

Монтажную длину нити можно считать известной, так как она определяется при монтаже как длина неподвешенной нити. Понятно, что монтажная длина

нити должна быть равна или больше расстояния между точками крепления нити l0 . С точки зрения расчета статически неопределимой системы, которой является

схема подвески нити, это и есть условие (уравнение) совместной деформации. Уравнение совместности деформаций можно привести к другому виду. Преобразуем выражение

h2

1

h

2

2

2

2

l

l 1

l

(1 (h / l)

)

l

h

l0

2l

2

l

С учетом этого выражение (10) примет вид

L l

1

q2l 3

H l

(t t

)

l

.

(11)

0

24 H 2

E F cos( )

0

cos( )

Разрешим уравнение (11) относительно натяжения нити, приняв Т = 0

H H (L, q, l, T,...).

(12)

L

h2

q 2l 3

H 3 l

L H 2

0

E F

2l

24

Зная натяжение нити, вычислим по формуле (5) провисание нити

f

q l 2

,

(13)

8H

и относительное провисание нити

f

q l

(14)

l

8H

Замечание. Как правило, H ql , поэтому f / l 1, то есть в практиче-

ских расчетах провисание мало.

Представим выражение (11) в виде

1

q2l 3

(15)

M

H

t

24 H 2

Здесь M L l0 - разность между монтажной длиной нити и расстоянием

между точками подвеса нити;

H l

H E F - удлинение нити за счет натяжения;

t (t t0 ) l0 - температурное удлинение нити0

Из (15) следует, что учет удлинения нити за счет натяжения температурное удлинение нити существенны, если

H M

t M .

(16)

Проверка надежности нити

1. Проверка прочности по напряжениям. После определения натяжения нити по уравнению (12), вычисляются максимальное усилие формуле (1) и далее проверяется условие прочности

max

Tmax

[ ] .

(17)

max

F

2. Проверка максимального провисания провода. После определения максимального провисания нити по формуле (*) проверяется условие

fmfx [ f ],

(18)

где [ f ] - допускаемое провисание провода, которое определяется или

прочностными расчетами, или величиной габаритного расстояния от поверхности земли, что связано с высотой опор, на которых крепится провод.

Учет влияния нагрузки и температуры на напряжения и провисание нити

Рассмотрим два состояния нити: начальное, которое характеризуется параметрами qн, tн, fн, Hн и некоторое конечное состояние, характеризуемое параметрами qk, tk, fk,, Hk. Для этих состояний монтажная длина определяется выражением (9)

L l0

1

qн2l 3

H н l0

(tн t0 ) l0 ,

(19)

24

H 2

E F

н

L l

1

qk2l 3

0

24

H 2

k

Введем обозначения н

qн

F

Hн

1

qн l 2

1

н l 2

,

н

F 8

fн F

8

fн

H k

l0

(t

t

) l

.

(20)

k

0

E F

0

,

qk

,

k

F

H k

1

qk l 2

1

k l 2 .

k

F

8

fk

F

8

fk

Используя эти обозначения и приравнивая выражения друг другу, выражения (19), (20) можно получить уравнение

3

н

fk3 f

н2

64 E fн

l 4

3

l 2

3

k

l 4

E

(tk

t

н )

fk

0 .

(21)

cos( )

cos( )

8

64 E

cos( )

Это уравнение называется уравнением состояния нити. Из этого уравнения, которое можно записать в виде

f 3

a f

k

b 0,

(22)

k

находят стрелу провисания в произвольном состоянии через известные параметры начального состояния.

Уравнение состояния нити можно записать в напряжениях

2l 2 E

2l 2 E

3

н

E (t

t

)

2

k

0 .

(23)

k

н

24

2

k

н

k

24

н

Из этого уравнения следует:

при малой длине пролета

k н Е (tk tн ) ,

то есть изменение напряжений зависит преимущественно от изменения температуры окружающей среды;

при пролетах большой длины

k

,

k

н

н

то есть изменение напряжений зависит преимущественно от нагрузки.

Введем понятие критической длины пролета lкр , при которой напряжения в

нити одинаковы в двух различных состояниях и равны допускаемому значению для данного материала нити

k н [ ].

(24)

Смотрите также файлы