Файл: В. А.МАТВЕЕВ.pdf

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1.1. Построить игровую модель для задачи полковника Блотто в случая m = 4 и n = 4 полков у полковника Блотто и капитана Киже.

Задача 1.2. Построить игровую модель для задачи полковника Блотто в случая m = 4 и n = 3 полков у полковника Блотто и капитана Киже. Оценивать захваченный пункт числом α > 0, а за каждый разбитый полк противника добавлять

командиру – победителю число β .

Задача 1.3. Построить игровую модель для задачи полковника Блотто для случая, когда борьба ведётся за три пункта

ичисло полков у полковника Блотто и капитана Киже равно m = 4

иn = 4.

16

§2. Удалениестрогодоминируемыхстратегий

После определения бескоалиционной игры в нормальной форме рассмотрим простейшие методы анализа игры, в частности способы её решения. Простейший подход состоит в том, чтобы не использовать в решении строго доминируемые стратегии. Соответствующий метод называется последовательное удаление строго доминируемых стратегий [7, с.78 - 79] Продемонстрируем метод на примере, наверное самом известном в теории игр. Это знаменитая “Дилемма заключенных”, для которой существует несколько различных вариантов. Приведенный далее пример [20, c.4547] имеет яркий экономический смысл.

Пример 2.1. (Дилемма заключённых). Рассмотрим две нефтедобывающиестраны, которыеназовёмАиВ. Этидвестраны могут кооперироваться (a), договариваясь об объёмах ежедневной добычи нефти, ограничиваясь добычей в 2 млн. баррелей в день, для каждой страны. С другой стороны страны могут действовать некооперативно (b), добывая, скажем, 4 млн. баррелей в день. Выявить оптимальный режим поведения стран.

В модели представлено два игрока: страна А и страна В. Взаимодействие стран представлено в таблице 2.1. Здесь указаны прибыли стран в зависимости от объёмов добычи нефти.

Таблица 2.1.

Это достаточно типичная для картеля картина, когда у каждого его члена картеля есть стимул отклониться от договора, чтобы за счёт увеличения объёмов продаж получить дополнительную прибыль. В игре множества стратегий у обоих игроков XА = XВ = {a, b}. Такую игру задают двумя матрицами выигрышей первого и второго игроков

17

Здесь у страны А стратегия b строго доминирует стратегию a, т.к выигрыши от применения стратегии b будут больше, чем выигрыши от применения стратегии a. Действительно

(f1(b,a), f1(b,b)) = (52, 32) > (46, 26) = (f1(a,a), f1(a,b))

т.е. вектор (52, 32) по обоим компонентам больше, чем вектор (46, 26). Рациональные игроки не будет рассматривать в качестве решения доминируемую стратегию. Они исключают стратегию a из рассмотрения. Получаем

Таблица 2.2.

или в форме двух матриц (каждая из них размера 1х2)

( A', B') = ((52 32), (22 24)).

Далее рассматриваем игру, полученную после исключения доминируемой стратегии первого игрока. Она представлена в таблице 2.2. В этой игре у второго игрока имеется две стратегии и одна из них, именно b, доминирует другую, a. Действительно, f2(b,b) = 24 > 22 = f2(b,a) Рациональные игроки не будут рассматривать, как решение, доминируемую стратегию a. Эту стратегию можно удалить.

В результате последовательного исключения строго доминируемых стратегий b игре осталась одна ситуация, представленная в таблице 2.3.

18

Таблица 2.3.

Эта ситуация и является решением игровой задачи. Рациональные игроки, анализируя бескоалиционную игру в

таблице 2.1., выберут стратегии (b,b) X A × X B , т.к. исключат

нерациональные (неэффективные) действия.

Несколько слов следует сказать о представлении конечного результата, получаемого после исследования теоретической модели. Самая разнообразная информация, полученная из модели, может иметь значение для изучения реального явления. Эта информации тем более ценна, что имеет логическое основание. Всё это относится и к игровым моделям.

Вигровых задачах, как и в задачах оптимизации, разыскивается наилучший, оптимальный результат. Представление результата должно отвечать на два вопроса: Что делать? Что при этом получится? В игровых задачах ответ на первый доставляет полученная ситуация. На второй вопрос отвечает значение функций выигрыша игроков в выбранной ситуации.

Вбескоалиционной игре, представленной в таблице 2.1, решением является ситуация (b,b), при этом игроки получат выигрыши (32, 24).

Рассмотренную задачу можно решить другим способом. Вначале удалить строго доминируемую стратегию второго игрока, а затем у первого. В результате будет получен тот же результат. Это общее

Свойство 2.1. Если в бескоалиционной игре (1.1) последовательно удалить все строго доминируемые стратегии, то множество оставшихся стратегий не зависит от последовательности удаления.

19

Перейдём к общим формулировкам. Пусть рассматривается бескоалиционная игра (1.1). Здесь и далее будем использовать

обозначение для набора стратегий всех игроков, кроме i N x−i = (x1 ,..., xi−1 , xi+1 ,..., xn ).

Это условие соответствует использованию покоординатного отношения порядка для векторов, составленных из выигрышей

игрока i N в ситуациях, где он использует стратегию xi* Хi

(первый вектор) и в ситуациях со стратегией xi Хi(второй

вектор).

Рациональные игроки не выбирают строго доминируемую стратегию. Процесс их последовательного исключения из рассмотрения называется последовательным удалением строго доминируемых стратегий. В результате будут удалены явно не рациональные стратегии.

Рассмотренная процедура применяется и в матричной игре. В такой игре последовательно удаляются строго доминируемые стратегии. Этим стратегиям соответствует доминируемая (доминирующая) строка (столбец) матрицы выигрышей.

Пример 2.2. В матричной игре, представленной матрицей А, выделить рациональные стратегии, т.е. стратегии, остающиеся после удаления строго доминируемых стратегий

20

В игре у первого игрока четыре стратегии (в матрице четыре строки). Эти стратегии (строки) А1, А2, А3, А4. Аналогично столбцы у второго игрока В1, В2, В3, В4. В предложенной игре стратегия А2 доминирует стратегию А3 и А4, которые удаляются на первом шаге. Рассмотрим матричную игру после удаления двух строк, представленную матрицей А’

Здесь стратегии В2 и В4 доминируют стратегию В3. Напомним, что данная игра антагонистическая и в столбцах матрицы представлены проигрыши второго игрока. После удаления доминирующих стратегий второго игрока, получается матрица, представленная в А"

Теперь последовательно удаляются стратегии А1 (она доминируется стратегией А2) и затем стратегия В1 (она доминирует стратегией В3). После этого у каждого игрока осталось по одной стратегии, т.е. ситуация (А2, В3), в которой игроки получат выигрыши 4 и –4 соответственно. Принято выигрыш первого игрока в антагонистической игре называть ценой игры и обозначать v*. В рассмотренном примере v* = 4.

При анализе игровых моделей используется метод последовательного удаления слабо доминируемых стратегий. В этом случае используется слабое доминирование.

Стратегия xi* X i игрока i N слабо доминирует стратегию x X i , если для любого набора стратегий всех остальных игроков выигрыш от стратегии xi* для игрока i не меньше, чем

21