Файл: В. А.МАТВЕЕВ.pdf

Задачи для самостоятельного решения

Задача 3.1. Найти седловые точки в матричных играх

Задача 3.2. Указать ситуации равновесия в биматричных играх с матрицами выигрыша

Задача 3.3. Найти все ситуации равновесия в биматричной игре с одинаковыми матрицами выигрыша А в общем виде

A = (aij )m×n ; B = A = (aij )m×n .

Задача 3.4. Найти все ситуации равновесия в биматричной игре с матрицами выигрыша

29

§4. Гарантированные решения

Равновесие по Нэшу, как решение бескоалиционной игры, предполагает некоторый (минимальный) уровень договорённости между игроками. Выбирая стратегию из равновесной ситуации, игрок предполагает, что другие игроки рациональны, и они считают, что и он рациональный игрок. На этом основан уровень минимальной совместной договорённости (кооперации) между игроками. Так думает каждый игрок, и, если равновесие единственно, то все они придерживаются равновесного выбора. Но бескоалиционную игру можно анализировать и с позиций отдельного игрока.

Рассматривается матричная игра, заданная матрицей Am×n = (aij ). Конечные множества стратегий X1 = X ={1,2,...,m}

первого и X 2 = Y ={1,2,...,n} второго игроков соответствуют

номерам строк и столбцов матрицы A .

Пусть первый игрок выбирает строку i X , тогда, независимо от выбора второго игрока, его выигрыш будет больше

или равен числа min aij . Но поскольку он может выбрать строку

i

как угодно, он может сделать эту величину возможно большей. Значит, он выбирает строку из условия

В этом случае стратегия i* X называется максиминной стратегией первого игрока, а соответствующее значение νН – максимином. Это число является гарантией для первого игрока. При таком выборе первый игрок получит выигрыш νН , либо

больший выигрыш. Приведённые рассуждения верны для любого игрока в бескоалиционной игре. В ней любой игрок имеет аналогично определённую гарантию.

Пример 3.2. (Продолжение). Найти гарантии игроков в игре Семейный спор.

30

Вычисления проведём в таблице, представленной в 4.1.

Таблица 4.1.

В игре Семейный спор игроки имеют одинаковые максимины, они равны 0, т.е. гарантированный вектор выигрышей двух игроков – (0, 0). Напомним, что в этой игре две точки равновесия по Нэшу дают выигрыши первому и второму игроку (2, 1) и (1, 2). У каждого игрока максимин не больше его же выигрыша в любой равновесной ситуации. Последнее утверждение верно и в любой бескоалиционной игре. Отметим, что в игре Семейный спор каждая стратегия первого и второго игроков является максиминной.

В антагонистической (матричной) игре рассуждения можно продолжить. Применим аналогичный подход для второго игрока. В матричной игре это означает

31

стратегией второго игрока, а соответствующее значение νB – минимаксом или верхней ценой игры. В этом случае минимакс

νН называю нижней ценой игры. Число νB является гарантией для второго игрока. При таком выборе второй игрок получит выигрыш νB , либо меньший выигрыш. Напомним, что второй игрок стремится увеличить выигрыш для матрицы − Am×n = (−aij ) что равносильно выбору наименьшего числа из выделенных наибольших чисел в столбцах матрицы Am×n .

Связь между минимаксом и максимином в антагонистической игре (1.2) следует из неравенства минимаксов.

Утверждение 4.1. (неравенство минимаксов). Пусть задана

Доказательство этого общематематического факта можно найти в [1, c.31; 4, с.15-16]. Тем более он будет верен для конечных множеств стратегий. В случае матричной игры (4.1) означает

Это неравенство оправдывает термины: нижняя и верхняя цена игры.

Неравенство минимаксов позволяет разбить антагонистические игры на два больших класса. Во-первых, это антагонистические игры, у которых (4.2) выполняется как

равенство, т.е. νН = νB . Это общее значение называется ценой игры и обозначается ν *. В этом случае существует зависимость между гарантированными решениями и седловой точкой в антагонистической игры (3.3), которая представлена

Утверждение 4.2. Для того, чтобы в антагонистической игре (1.2) ситуация (x*, y*) X ×Y была седловой точкой

необходимо и достаточно, чтобы существовали максимин и минимакс

32