Файл: Маткад лекции. ВМ-2.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 14.04.2025

Просмотров: 1189

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Пример 5.3. Решить уравнение

Ly º y¢¢ -3y¢ + 2 y =(x2 + x)e3x .

(5.11)

Спектральное значение правой частиl* = a + ib равно l* = 3,

так какa = 3, а

синусы и косинусы отсутствуют. Характеристическое уравнение l2 - 3l + 2 = 0 имеет два различных действительных корня: l1 =1 и l2 = 2. Так как спектральное значение l* = 3 не

является коpнем характеристического уравнения, то частное решение уравнения(5.11) следует искать в виде (см. п.2 алгоритма):

y = y

= e3 x ( Ax2

+ Bx + C).

(5.12)

ч.н.

Для составления уравнений относительно неопределенных коэффициентовA, B и C, найдем производные функции (5.12):

y¢ = e3x (3Ax2 + 3Bx + 3C) + e3 x (2 Ax + B) e3 x (3=Ax2 + 3Bx + 2 Ax + 3C + B), y¢¢ = e3 x (9 Ax2 + 9Bx + 6 Ax + 9C + 3B) + e3 x (6 Ax + 3B + 2 A) =

= e3 x (9 Ax2 + 9Bx +12 Ax + 9C + 6B + 2A).

Следовательно,

Lyч.н. º e3x (9 Ax2 + 9Bx +12 Ax + 9C + 6B + 2 A) -

-3e3x (3Ax2 + 3Bx + 2Ax + 3C + B) + 2e3x ( Ax2 + Bx + C) º (x2 + x)e3x .

Сокращая здесь экспоненту, получаем тождество

2Ax2 + 2Bx + 6 Ax + 2C + 3B + 2A º x2 + x.

Приpавнивание коэффициентов дает:

x2

2A =1,

x1

2B + 6 A =1,

Û A =1/ 2, B= -1, C =1.

x0

2C + 3B + 2 A = 0

Подставляя

A, B

и

C

в (5.12),

получаем

частное

решение

в

виде

y = y=

e3 x ( x2 / 2 - x +1).

При

этом

общее

решение

соответствующего

однородного

ч.н.

yравнения строится по корням l1 =1 и l2

= 2 характеристического уравнения следующим

образом:

y

o.o

= C ex + C

e2 x ,

а

значит

общее

решение

неоднoродного уравнения(5.11)

1

2

запишется в виде

1

y

= y=

C ex + C

e2 x + e3 x æ

x2 - x

+1ö.

o.н.

1

2

ç

÷

è 2

ø

32

Лекция 6. Комплексные числа, последовательности комплексных чисел

Понятие комплексного числа. Геометрическая интерпретация

Определение 1.1.} Комплексными числами называются числа вида z = x + iy, где x, y Î R, а i --- так называемая мнимая единица, i2 = -1.

x = Re z --- действительная часть; y = Im z --- мнимая часть.

Действия с комплексными числами.

1. Равенство. Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части:

z1 = x1 + iy1,= z2 x2 + iy2 , z1 = z2 Û x1 x2=, y1 y2=.

2. Сложение и вычитание:

z1 ± z2 =(x1 ± x2 ) + i( y1 ± y2 ).

3. Умножение. Умножение осуществляется обыкновенным раскрыванием скобок с учетом i2 = -1 :

z1z2 = (x1 + iy1 )(x2 + iy2 ) (=x1x2 - y1 y2 ) + i(x2 y1 + x1 y2 ),

что удовлетворяет требованиям коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности.

4.

Деление:

z

x + iy

(x

+ iy )(x - iy )

x x + y y

2

+ i

y x - x y

2

.

1

=

1

1

=1

1

2

=2

1 2

1

1 2

1

z

2

x + iy

2

(x

+ iy

)(x

2

-iy

2

)

x2

+ y2

x2

+ y2

2

2

2

2

2

2

2

Пример: 1 = -i. i

5. Возведение в целую степень. Действия с многочленами.

Примеры:

ì 1,

если n = 4k

ï

i,

если n = 4k +1

а)

i

n

ï

= í

=если n

4k + 2

ï-1,

ï

=если n

4k + 3

î-i,

k = 0,1, 2,...

б) z2 = (x + iy)2= x2 - y2 + i2xy.

6. Комплексное сопряжение:

33

z

= x + iy= x - iy;

Re z =

z +

z

,

Im z =

z -

z

.

2

2i

Некоторые свойства:

z1 ±

=

=z1

=

= z1.

z1 ± z2

z2 ;

z1z2

z2 ;

z1 / z2

z1 /

z2 ;

z1

Примеры:

а) zz = (x + iy)(x - iy)= x2 + y2 ;

б) z2 = x2 - y2 -i2xy;

в) z1 = z1z2 ; z2 z2 z2

г) i = -i, 1 =1.

Геометрическая интерпретация комплексного числа

Диаграмма Аргана

Рис. 1.1

z = (x,=y)

x + iy Û

точка плоскости (x, y) ---

взаимно-однозначное соответствие.

Комплексная плоскость: ось абсцисс Re(z) --- {действительная ось};

ось ординат Im(z) --- { мнимая ось.}

Примеры простейших множеств точек на комплексной плоскости:

а) | z - z0 |

a, = (a > 0)

--- окружность с центром в точке z0 и радиусом

a ;

б) | z - z0 |< a

(a > 0) --- открытый круг с центром в точке $z_0$ радиусом a ;

в) | z - z0 |> a

(a > 0) --- внешность открытого круга с центром в точке z0

радиусом a ;

a

д) arg(z - z0 ) = j --- луч с началом в точке z0 , идущий под углом j к положительному направлению действительной оси;

е) ---a

ж) Re z = a --- прямая, параллельная мнимой оси, проходящая через точку (a, 0) ; 34

з) Im z = b --- прямая, параллельная действительной оси, проходящая через точку

(0, b).

Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа

Полярные координаты:

(x, y) Û (r,j), где=

x r cos=j, y r sin j.

Модуль комплексного числа:

r = (x2 + y2 )1/ 2 | =z |

((Rez)=2 + (Im z)2 )1/ 2 .

Аргумент комплексного числа:

tgj =

y

,= j j0 + 2p k,

-p < j0 £ p;

x

Arg z = arg z + 2p k,

-p < arg z £ p.

Для комплексного числа 0 = (0,0) модуль равен 0 , а аргумент не определен.

Тригонометрическая форма записи комплексного числа:

z = r(cosj + i sin j) = reij --- ( формула Эйлера )---

показательная форма записи комплексного числа.

Примеры:

а)

| z |2 = zz

= x2 + y2 , z2 не равнo| z |2 ;

б)

z =1; |1|

1,= arg1

=0;1

1(cos= 0 + i sin 0) =1·ei0 ;

в)

z = i; | i |

1, arg=i

p / 2;

i

=1(cos(p / 2) +=i sin(p / 2)) =1·eip / 2 ;

г)

z = -1;

| -1|

1, arg(= -1)

p; =-1

1(cos=p + i sin p ) =1·eip ;

z = -i;

| -i=|

1, arg(-i=)

p

- i=

æ

p

- i=sin

p

ö

1e

-i

p

д)

-

;

1çcos

÷

2

2

2

2

è

ø

e)

z =1+ i; |1+ i |

p

;=1+ i

2(cos=

p

+ sin

p

) =

e

p

2,=arg(1+ i)

2

4

4

4

4

ж)

z = eij ;

| eij=|

1, arg(=eij )

j; =eij

1(cosj + i sin j);

з)

z = -eij ;

| -eij |=1, arg(-eij )= p +j;

- eij =1(cos(p +j) +

35

Смотрите также файлы