Файл: Статистическая физика.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 06.05.2025

Просмотров: 2829

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

170

â â¨áâ¨ç¥áª ï á㬬 â ª®© á¨á⥬ë ᯨ­®¢ ¨¬¥¥â ¢¨¤:

X

~

N

m1=S

mN =S

N

X

X

X

X

Z =

S

exp

;T

i=1 SiH! = m1=

S

::: mN=

S exp

x i=1 mi!

(9.2)

;

;

£¤¥

~H

x

(9.3)

T

¯¥à æ¨ï á㬬¨à®¢ ­¨ï ¢ (9.2) ®á®¡¥­­® ¯à®áâ ¤«ï S = 1=2:

Y

<

X;

=

Z =

N

8 mi=1=2

exp(xmi)9 =

i=1

:

mi=

1=2

N

N

;

Y

N

1

1

=

i=1

2ch

2x

= 2

ch

2x

ਠ¯à®¨§¢®«ì­®¬ S ¨¬¥¥¬:

Z =

exp(;xS)[1

; expf(2S + 1)xg]

N =

sh f(S + 1=2)xg

N

1 ; exp(x)

sh(x=2)

®®â¢¥âá⢥­­®, ¤«ï ᢮¡®¤­®© í­¥à£¨¨ á¨áâ¥¬ë ¯®«ãç ¥¬:

F (T; H) = ;T ln Z = ;NT ln sh f(S + 1=2)xg sh(x=2)

âáî¤ ­ ¬ £­¨ç¥­­®áâì:

M(T; H) = ;

@F

= T

@

ln Z = M0BS (Sx)

@H

@H

T

(9.4)

(9.5)

(9.6)

(9.7)

£¤¥ M0 M(T = 0; H = 0) = NS ~ = NSg B { ¬ ªá¨¬ «ì­ ï ¢¥«¨ç¨­

­ ¬ £­¨-

祭­®áâ¨,

2S + 1

2S + 1

1

1

BS (x)

cth

x ;

cth

x

(9.8)

2S

2S

2S

2S

{ â ª ­ §ë¢ ¥¬ ï äã­ªæ¨ï ਫ«îí­

. â

äã­ªæ¨ï á¢ï§ë¢ ¥â ­ ¬ £­¨ç¥­­®áâì

á¨á⥬ë ᯨ­®¢ ¯ à ¬ £­¥â¨ª á ¢¥«¨ç¨­®© ¯à¨«®¦¥­­®£® ¯®«ï, ®­

¯®ª § ­ ­

¨á. 9-1. ç áâ­®¬ á«ãç ¥ S = 1=2 äã­ªæ¨ï ਫ«îí­ à ¢­ :

1

B1=2 2x = 2cth(x) ; cth(x=2) = th(x=2):

(9.9)

§ ¨б. 9-1 ¢¨¤­®, зв® M = 0 ¯а¨ H = 0, ª ª ¨ ¤®«¦­® ¡лвм ¢ ¯ а ¬ £­¥в¨ª¥.д¥а஬ £­¥в¨ª е б¨вг ж¨п ¨­ п, б¯¨­л ¢§ ¨¬®¤¥©бв¢гов ¬¥¦¤г б®¡®©, ¨ ¯а¨ ­¨§ª¨е в¥¬¯¥а вга е ¢ б¨бв¥¬¥ ¨¬¥¥вбп б¯®­в ­­ п ­ ¬ £­¨з¥­­®бвм, бгй¥бв¢го- й п ¨ ¢ ®вбгвбв¢¨¥ ¢­¥и­¥£® ¯®«п, в.¥. ¯а¨ H = 0. б­®¢­®¥ ¯а¥¤¯®«®¦¥­¨¥ в¥®а¨¨ ¬®«¥ªг«па­®£® (ба¥¤­¥£®) ¯®«п б®бв®¨в ¢ ⮬, зв® ¢§ ¨¬®¤¥©бв¢¨¥ б¯¨­®¢ ¯а¨¢®- ¤¨в ª ¢®§­¨ª­®¢¥­¨о ­¥ª®в®а®£® \¬®«¥ªг«па­®£®" ¬ £­¨в­®£® ¯®«п Hm, ª®в®а®¥ ¤®¡ ¢«п¥вбп ª ¢­¥и­¥¬г ¯®«о H. а¥¤¯®« £ ¥вбп, зв® нв® ¯®«¥ ¯а®¯®аж¨®­ «м­® ­ ¬ £­¨з¥­­®бв¨ б¨бв¥¬л:

Hm = M(T; H)

(9.10)

171

¨á. 9-1 ¢¨á¨¬®áâì ®â­®á¨â¥«ì­®© ­ ¬ £­¨ç¥­­®á⨠¯ à ¬ £­¥â¨ª

= M=M0 ®â

®â ¯ à ¬¥âà ~HS=T, ®¯¨áë¢ ¥¬ ï ä㭪樥© ਫ«îí­ ¤«ï à §«¨ç­ëå §­ 祭¨©

ᯨ­ S.

â ª çâ® íä䥪⨢­®¥ ¯®«¥, ¤¥©áâ¢ãî饥 ­ ª ¦¤ë© ᯨ­ à ¢­®:

Heff = H + M(T; H)

(9.11)

à ¬¥âà > 0 ­ §ë¢ ¥âáï ¯ à ¬¥â஬ ¬®«¥ªã«ïà­®£® ¯®«ï. ᥠ¯®«ã祭­ë¥

¢ëè¥ á®®â­®è¥­¨ï ®áâ îâáï ⮣¤ ¢ ᨫ¥, ­ã¦­® ⮫쪮 ®áãé¥á⢨âì

§ ¬¥­ã

H ! Heff . ç áâ­®áâ¨, ¯à¨ â ª®© § ¬¥­¥ ¨§ (9.7) ¯®«ãç ¥¬:

M = M0BS

~S

(H + M)

(9.12)

T

ਠH = 0 ¢®§­¨ª ¥â ãà ¢­¥­¨¥ ¤«ï ­ ¬ £­¨ç¥­­®á⨠M:

~ M

S

M = M0BS T

(9.13)

à ä¨ç¥áª®¥ à¥è¥­¨¥ í⮣® ãà ¢­¥­¨ï ¨§®¡à ¦¥­® ­ ¨á. 9-2. à ¢­¥­¨¥ (9.13)

¨¬¥¥â âਢ¨ «ì­®¥ à¥è¥­¨¥ M = 0 ¤«ï ¢á¥å §­ 祭¨© T . ¤­ ª® áãé¥áâ¢ã¥â ¥é¥

¨ ¢â®à®¥ à¥è¥­¨¥ M = 0, ª®£¤

­ ç «ì­ë© ãç á⮪ £à 䨪 ¯à ¢®© ç á⨠(9.13)

¨¤¥â ¡®«¥¥ ªàãâ®, 祬6«¥¢ ï ç áâì. â®¡ë ¨áá«¥¤®¢ âì íâ®â ¢®¯à®á

­ «¨â¨ç¥áª¨,

¯à®¢¥¤¥¬ à §«®¦¥­¨¥ ä㭪樨 ਫ«îí­

¢ àï¤:

BS(x) =

S + 1

x ;

S + 1 2S2 + 2S + 1

x3 + :::

(9.14)

3S

3S

30S2

®£¤ ­ ç «ì­ë© ­ ª«®­ ªà¨¢®©, ¨§®¡à ¦ î騩 § ¢¨á¨¬®áâì ¯à ¢®© ç á⨠(9.13), ®¯à¥¤¥«¨âáï ¢ëà ¦¥­¨¥¬:

M0

S + 1

~S

3S

T

= C T

(9.15)

172

¨á. 9-2 à ä¨ç¥áª®¥ à¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï ¤«ï ­ ¬ £­¨ç¥­­®á⨠¢ ⥮ਨ ¬®«¥ªã«ïà- ­®£® ¯®«ï ( = 1=T ).

£¤¥ ¢¢¥«¨ ¯®áâ®ï­­ãî îà¨:

C

N ~2S(S + 1)

(9.16)

3

¢ëà §¨¢ M0 ç¥à¥§ ¬¨ªà®¯ à ¬¥âàë, ᮣ« á­® ä®à¬ã«¥, ¯à¨¢¥¤¥­­®© ¯®á«¥ (9.7).¥¯¥àì ¨§ (9.15) ¢¨¤­®, çâ® ­¥âਢ¨ «ì­®¥ à¥è¥­¨¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¯à¨ T < C, ®âªã¤ ïá­®, çâ® ªà¨â¨ç¥áª ï ⥬¯¥à âãà ä §®¢®£® ¯¥à¥å®¤ ¢ ä¥à஬ £­¨â­®¥ á®áâ®ï­¨¥ ¢ ⥮ਨ ¬®«¥ªã«ïà­®£® ¯®«ï à ¢­ :

Tc = C

(9.17)

ਠ⠪¨å ⥬¯¥à âãà å M 6= 0 ¤ ¦¥ ¢ ®вбгвбв¢¨¥ ¢­¥и­¥£® ¬ £­¨в­®£® ¯®«п.¥¬¯¥а вга ¯¥а¥е®¤ Tc, ®ç¥¢¨¤­®, áâ६¨âáï ª ­ã«î ¯à¨ ! 0, ª®£¤ ¬ë ¢®§¢à - é ¥¬áï ª á«ãç î ¯ à ¬ £­¥â¨ª .

áᬮâਬ ¢®¯à®á ® ¯à®¨á宦¤¥­¨¨ ¬®«¥ªã«ïà­®£® ¯®«ï á ¬¨ªà®áª®¯¨ç¥áª®© â®çª¨ §à¥­¨ï. ®á­®¢¥ ¡®«ì設á⢠¬®¤¥«¥© ¬ £­¨â­®£® 㯮à冷祭¨ï «¥¦¨â ¯à¥¤- áâ ¢«¥­¨¥ ®¡ ®¡¬¥­­®© ¯à¨à®¤¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï ᯨ­®¢, ª®â®à®¥ ¢ ¯à®á⥩襬 á«ã- ç ¥ ®¯¨áë¢ ¥âáï ¬®¤¥«ìî ¥©§¥­¡¥à£ , £ ¬¨«ìâ®­¨ ­ ª®â®à®© ¨¬¥¥â ¢¨¤:

1

X

X

H = ;2

i=j Jij SiSj ; ~

i

SiH

(9.18)

6

£¤¥ Jij { â ª ­ §ë¢ ¥¬ë© ®¡¬¥­­ë© ¨­â¥£à «, ª®â®àë© ¢ë¡¨à ¥¬ ¯®«®¦¨â¥«ì­ë¬ (á«ãç © ä¥à஬ £­¨â­®£® 㯮à冷祭¨ï).

áâ® à áᬠâਢ ¥âáï ¨ ¡®«¥¥ ¯à®á⮩ ¢ ਠ­â â ª ­ §ë¢ ¥¬®© ¬®¤¥«¨ §¨­£ , íª¢¨¢ «¥­â­ë© (9.18), ¢ ª®â®à®© ®áâ ¢«¥­ë ⮫쪮 Sz ª®¬¯®­¥­âë ᯨ­ . ¥ £ - ¬¨«ìâ®­¨ ­ ®¡ëç­® § ¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥:

1

X

X

H = ;2

i=j Jijsisj ; ~

i

siH

(9.19)

6

173

£¤¥ ¯¥à¥¬¥­­ë¥ si = 1. ¬¥â¨¬, çâ® ¬®¤¥«ì §¨­£

¬®¦¥â ¡ëâì à¥è¥­

â®ç­®

­ ¤¢ã¬¥à­®© à¥è¥âª¥ [1, 2]. â® à¥è¥­¨¥ ­á £¥à ¨£à ¥â ®ç¥­ì ¡®«ìèãî à®«ì ¢

⥮ਨ ä §®¢ëå ¯¥à¥å®¤®¢, ­® ¬ë ¥£® à áᬠâਢ âì ­¥ ¡ã¤¥¬.

®¤¥«ì ¬®«¥ªã«ïà­®£® ¯®«ï ᢮¤¨âáï ª ¯à¨¡«¨¦¥­­®© § ¬¥­¥ (9.18) ­

íä䥪-

⨢­ë© £ ¬¨«ìâ®­¨ ­ ¢¨¤ :

X

X

H = ; i=j Jij < Sz > Siz ; ~ i SizH

(9.20)

6

£¤¥ ¬ £­¨â­®¥ ¯®«¥ áç¨â ¥âáï ­ ¯à ¢«¥­­ë¬ ¯® ®á¨ z,

< Sz > ®¡®§­ ç ¥â á।-

­¥¥ §­ 祭¨¥ z-ª®¬¯®­¥­âë ᯨ­

­

«î¡®¬ 㧫¥ à¥è¥âª¨. á­®, çâ® ¯à¨ (9.20)

íª¢¨¢ «¥­â­® à áᬮâ७­®© ¢ëè¥ ¬®¤¥«¨ ᢮¡®¤­ëå ᯨ­®¢, ­ 室ïé¨åáï ¢ íä-

䥪⨢­®¬ (¬®«¥ªã«ïà­®¬) ¯®«¥, ­ ¯à ¢«¥­­®¬ ¢¤®«ì ®á¨ z, á«¥¤ãî饣® ¢¨¤ :

Heff = H +

J0

< Sz >= H +

J0

M

(9.21)

~

N ~2

£¤¥

X

J0 =

Jij

Jii = 0

(9.22)

j

®¦­® ᪠§ âì, çâ® ¬®«¥ªã«ïà­®¥ ¯®«¥ ­ ¤ ­­®¬ 㧫¥ ᮧ¤ ¥âáï á ¬®á®£« ᮢ ­- ­ë¬ ®¡à §®¬ ¢á¥¬¨ ®áâ «ì­ë¬¨ ᯨ­ ¬¨ á¨á⥬ë. à ¢­¨¢ ï (9.21) á (9.11), ¢¨¤¨¬, çâ® ª®­áâ ­â ¬®«¥ªã«ïà­®£® ¯®«ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢ í⮩ ¬®¤¥«¨ ¢ëà ¦¥­¨¥¬:

=

J0

(9.23)

N ~2

®£¤ ¨§ (9.17) á«¥¤ã¥â, çâ® ªà¨â¨ç¥áª ï ⥬¯¥à âãà

ä §®¢®£® ¯¥à¥å®¤ ¢ ä¥àà®-

¬ £­¨â­®¥ á®áâ®ï­¨¥ à ¢­ :

1

Tc = 3 J0S(S + 1)

(9.24)

á«ãç ¥, ¥á«¨ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîâ ᯨ­ë ⮫쪮 ­ ¡«¨¦ ©è¨å á®á¥¤ïå ¢ à¥è¥âª¥,

â.¥. Jij = J ⮫쪮 ª®£¤

㧥« j ï¥âáï ®¤­¨¬ ¨§ z ¡«¨¦ ©è¨å á®á¥¤¥© 㧫 i,

¢ ®áâ «ì­ëå á«ãç ïå Jij

= 0, ¨¬¥¥¬:

1

Tc = 3zJS(S + 1)

(9.25)

¥à­¥¬áï ª à áᬮâ७¨î ¯à®á⥩襣® á«ãç ï S = 1=2. ®£« á­® (9.9) ¨ (9.12)

¬®¦­® § ¯¨á âì:

1

M = M0th

~(H + M)

(9.26)

2T

¢®¤ï ®â­®á¨â¥«ì­ë¥ ¯¥à¥¬¥­­ë¥ = M=M0 ¨ t = T=Tc, ­ ¯¨è¥¬ (9.26) ª ª:

1 ~H

= th 2

+

t

(9.27)

T

®«ì§ãïáì th(x + y) =

thx+thy

, ¯¥à¥¯¨è¥¬ (9.27) ¢ ¢¨¤¥:

1+(thx)(thy)

h

th

~H

=

1

; th( =t)

(9.28)

2T

1 ;

th( =t)

174

¡«¨§¨ ªà¨â¨ç¥áª®© â®çª¨ (H = 0; M = 0; T

= Tc)

à£ã¬¥­âë ¢á¥å £¨¯¥à¡®-

«¨ç¥áª¨å â ­£¥­á®¢ ¢ (9.28) ¬ «ë, ¨ ¬ë ¬®¦¥¬ ¯à®¨§¢¥á⨠¨å à §«®¦¥­¨¥ ¢ àï¤:

thx = x ;

1

x3 +

2

x5 + :::. ®£¤ :

3

15

1

1

1

1=t

h = 1 ; t + 3

+

;t

(9.29)

3t3

§ í⮣®, â ª ­ §ë¢ ¥¬®£® ãà ¢­¥­¨ï á®áâ®ï­¨ï ¬ £­¥â¨ª , ¬®¦­® ¯®«ãç¨âì ¯®¢¥- ¤¥­¨¥ ¡®«ì設á⢠¥£® 䨧¨ç¥áª¨å å à ªâ¥à¨á⨪ ¢¡«¨§¨ ªà¨â¨ç¥áª®© â®çª¨.

ª ç¥á⢥ ¯à¨¬¥à ¬ë à áᬮâਬ ­ ¬ £­¨ç¥­­®áâì ¨ ¬ £­¨â­ãî ¢®á¯à¨¨¬ç¨- ¢®áâì. § ãà ¢­¥­¨ï (9.28) ¢¨¤­®, çâ® ¢ ­ã«¥¢®¬ ¯®«¥ h = 0 ¨ ¤«ï T < Tc ãà ¢­¥­¨¥ (9.29) ¯à¨­¨¬ ¥â ¢¨¤:

2 =

T=Tc ; 1

+ :::

3

T

2 Tc ; T

(9.30)

3

Tc

3T3

+ T

;1

; T

Tc

Tc

Tc

Tc

ª¨¬ ®¡à §®¬, ­ ¬ £­¨ç¥­­®áâì ¢ ­ã«¥¢®¬ ¯®«¥ ¢¡«¨§¨ Tc (¯à¨ T < Tc) ¢¥¤¥â á¥¡ï ª ª:

j

= T

; Tc

(9.31)

j

Tc

£¤¥ ªà¨â¨ç¥áª¨© ¨­¤¥ªá ­ ¬ £­¨ç¥­­®á⨠= 1=2.

;

§®â¥à¬¨ç¥áª ï ¢®á¯à¨¨¬ç¨¢®áâì ¢ ­ã«¥¢®¬ ¯®«¥

T =

@M

㤮¢«¥â¢®àï¥â

@H

T

ᮮ⭮襭¨î:

@M

@

@h

1

~

@

C @

T =

=

2N ~

= T

(9.32)

@

T

@h

T

@H

2T

@h

T

@h

T

T

£¤¥ ¤«ï ¯®áâ®ï­­®© îਠ¨á¯®«ì§®¢ «¨ (9.16) ¤«ï S = 1=2. ¨ää¥à¥­æ¨àãï ®¡¥

ç á⨠(9.29) ¯® h ¯à¨ T Tc, ¯®«ãç ¥¬:

@

1

1

1 =

@h 1

; t

+ 3 2

(9.33)

3t3

¨«¨, ¨á¯®«ì§ãï (9.32),

1

3

; :

T = CT t + t3

(9.34)

«¥¥, ¤«ï T > Tc ¨¬¥¥¬ = 0 ¯à¨ H = 0 ¨ (9.34) ᢮¤¨âáï ª:

T

=

C

Tc T ; Tc

;1 =

C

;

(9.35)

T ; Tc

T

T Tc

£¤¥ ªà¨â¨ç¥áª¨© ¨­¤¥ªá ¢®á¯à¨¨¬ç¨¢®á⨠= 1. ਠT < Tc, ᮣ« á­® (9.30) ¨¬¥¥¬

2 ;3 , â ª çâ® ¨§ (9.34):

1 C

1

j j;1

T 2 T

(9.36)

(

;

)

â ª çâ® ªà¨â¨ç¥áª¨© ¨­¤¥ªá ¢®á¯à¨¨¬ç¨¢®á⨠¯à¨ T < Tc â ª¦¥ 0 = 1.

àï¬ë¬¨ à áç¥â ¬¨ ¢ à ¬ª å ¬®¤¥«¨ ¬®«¥ªã«ïà­®£® ¯®«ï ¬®¦­® ¯®ª § âì, ç⮠⥯«®¥¬ª®áâì á¨áâ¥¬ë ¯à¨ T = Tc ¨á¯ëâë¢ ¥â ª®­¥ç­ë© ᪠箪 CH = 3=2N.

Смотрите также файлы