Файл: Статистическая физика.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 06.05.2025

Просмотров: 2811

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

28

á ¯®¬®éìî (1.102). áâ¥á⢥­­®, çâ® â ª®¥ ®¯¨á ­¨¥ ᮢ¥à襭­® íª¢¨¢ «¥­â­® ®¯¨- á ­¨î á ¯®¬®éìî ¢®«­®¢®© ä㭪樨.

¬® ­ §¢ ­¨¥ ¯à¥ªæ¨®­­ë© ®¯¥à â®à á¢ï§ ­® á ⥬, çâ® ¤¥©á⢨¥ ®¯¥à â®à P ­ ¯à®¨§¢®«ì­ë© ¢¥ªâ®à ' ¢ £¨«ì¡¥à⮢®¬ ¯à®áâà ­á⢥ ¯à®¥ªâ¨àã¥â ¥£® ­ \­ -

¯à ¢«¥­¨¥" ¢¥ªâ®à :

P' = Z dx0P(x; x0)'(x0) = ( ?; ') (x)

(1.104)

஥ªæ¨®­­ë© ®¯¥à â®à íନ⮢, çâ® ¢¨¤­® ¨§ ¥£® ®¯à¥¤¥«¥­¨ï (1.103):

P?(x; x0) = P(x0; x)

(1.105)

஬¥ ⮣® ¨¬¥¥¬ ᢮©á⢮:

P2 = P

(1.106)

çâ® á«¥¤ã¥â ¨§ (1.104) { ¯®á«¥ ®¤­®© ®¯¥à 樨 ¯à®¥ªâ¨à®¢ ­¨ï, ¢á¥ ¯®á«¥¤ãî騥

¯à®¥ªâ¨à®¢ ­¨ï ­

⮦¥ \­ ¯à ¢«¥­¨¥" 㦥 ­¥ ­¨ç¥£® ­¥ ¬¥­ïîâ. ஬¥ ⮣®, ¢á¥-

£¤ ¨¬¥¥¬:

SpP = 1

(1.107)

çâ® á«¥¤ã¥â ¨§ (1.102) ¯®á«¥ ¯®¤áâ ­®¢ª¨ ¢¬¥áâ® A ¥¤¨­¨ç­®£® ®¯¥à â®à

¨«¨ ¨§

®¯à¥¤¥«¥­¨ï (1.103) á ãç¥â®¬ ãá«®¢¨ï ­®à¬¨à®¢ª¨ (1.99).

¬¥è ­­ë©

­á ¬¡«ì.

¢ ­â®¢ ï áâ â¨áâ¨ç¥áª ï ¬¥å ­¨ª áâநâáï ­ ®á­®¢¥ à áᬮâ७¨ï ­á ¬¡«ï ¡®- «¥¥ ®¡é¥£® ¢¨¤ , ­¥¦¥«¨ à áᬮâ७­ë© ¢ëè¥ ç¨áâë© ­á ¬¡«ì, ¨¬¥­­® á¬¥è ­- ­®£® ­á ¬¡«ï, ®á­®¢ ­­®£® ­ ­¥¯®«­®¬ ­ ¡®à¥ ¤ ­­ëå ® ª¢ ­â®¢®¬¥å ­¨ç¥áª®© á¨á⥬¥. áᬮâਬ ¡®«ì讥 ç¨á«® ⮦¤¥á⢥­­ëå ­¥¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîé¨å ª®¯¨© ¤ ­­®© á¨á⥬ë, ª®â®àë¥ ¬®£ãâ ­ 室¨âìáï ¢ à §«¨ç­ëå ª¢ ­â®¢ëå á®áâ®ï­¨ïå. á¬¥è ­­®¬ ­á ¬¡«¥ ®¯à¥¤¥«¥­ë «¨èì ¢¥à®ïâ­®á⨠w1; w2; ::: ®¡­ à㦨âì á¨á⥬㠢 ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¥¥ â®ç­ëå ª¢ ­â®¢ëå á®áâ®ï­¨ïå 1; 2; :::. ë, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ­¥ §­ ¥¬ â®ç­® ¢ ª ª®¬ ¨¬¥­­® ¨§ ᢮¨å ¢®§¬®¦­ëå á®áâ®ï­¨© á¨á⥬ ॠ«ì­® ­ 室¨âáï, ¢ í⮬ á¬ëá«¥ ­ è¥ §­ ­¨¥ ¨ ï¥âáï ­¥¯®«­ë¬, §­ ¥¬ ¬ë «¨èì 㪠-

§ ­­ë¥ ¢¥à®ïâ­®áâ¨. ¤­ ª® ¨ ¢ á¬¥è ­­®¬

­á ¬¡«¥ ¬ë ¬®¦¥¬, ¢ ¯à¨­æ¨¯¥, ­ ©â¨

á।­¥¥ §­ 祭¨¥ «î¡®© 䨧¨ç¥áª®© ¢¥«¨ç¨­ë, ¯à¥¤áâ ¢«ï¥¬®© ®¯¥à â®à®¬ A:

< A >=

wk( k?; A k)

(1.108)

k

¯à¨ç¥¬

X

k

wk = 1;

wk 0:

(1.109)

X

k?; A

â® ¢ëà ¦¥­¨¥ ®ç¥¢¨¤­®, ¯®áª®«ìªã (

k) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ª¢ ­â®¢®¬¥å ­¨-

ç¥áª®¥ á।­¥¥ ®¯¥à â®à A ¢ á®áâ®ï­¨¨ k. ¨áâë© ­á ¬¡«ì ¥áâì ç áâ­ë© á«ãç © á¬¥è ­­®£®, ª®£¤ à ¢­ë ­ã«î ¢á¥ ¢¥à®ïâ­®á⨠wk ªà®¬¥ ®¤­®©, à ¢­®© ¥¤¨­¨æ¥.®£¤ (1.108) ᢮¤¨âáï ª (1.98).

«ï ¨§ã祭¨ï á¬¥è ­­ëå ­á ¬¡«¥© 㤮¡­® ¢¢¥á⨠áâ â¨áâ¨ç¥áª¨© ®¯¥à â®à, ¯à¥¤«®¦¥­­ë© ­¥§ ¢¨á¨¬® ä®­- ¥©¬ ­®¬ ¨ ­¤ ã. ¥à­¥¬áï ª «¨­¥©­®¬ã ®¯¥à -

â®àã A ¢ ¬ âà¨ç­®¬ x-¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¨ (1.101). ®¤áâ ¢«ïï (1.101) ¢ (1.108), ¯®«ã稬:

< A >= Z dxdx0A(x; x0) (x0; x)

(1.110)

29

¨«¨

< A >= Sp( A)

(1.111)

£¤¥

(x; x0) =

X

k?(x0)

wk

k(x)

(1.112)

k

{ áâ â¨áâ¨ç¥áª¨© ®¯¥à â®à ¢ ¬ âà¨ç­®¬ x-¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¨ ¨«¨ ¬ âà¨æ ¯«®â­®-

áâ¨.

x

x

x

x

âà¨æ

¯«®â­®á⨠§ ¢¨á¨â ®â 2N

¯¥à¥¬¥­­ëå

; :::;

0N ¨ ¯®¤ç¨­ï-

1; :::; N;

01

¥âáï ãá«®¢¨î ­®à¬¨à®¢ª¨:

Sp = 1;

(1.113)

ª®â®à®¥ ®ç¥¢¨¤­® ¨§ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï:

X

Sp =

Z

dx (x; x) =

wk( k?;

k) = 1

(1.114)

k

P

£¤¥ ¯®á«¥¤­¥¥ à ¢¥­á⢮ á«¥¤ã¥â ¨§ (

k?; k) = 1 ¨

k wk = 1. á«®¢¨¥ (1.113) ¥áâì

­ «®£ ãá«®¢¨ï ­®à¬¨à®¢ª¨ ä㭪樨 à á¯à¥¤¥«¥­¨ï ¢ ª« áá¨ç¥áª®© áâ â¨áâ¨ç¥-

᪮© ¬¥å ­¨ª¥.

¯¨áì ¢ ¢¨¤¥ (1.111) 㤮¡­

¢ ⮬ ®â­®è¥­¨¨, çâ® è¯ãà ¬ âà¨æë ¨­¢ ਠ­â¥­

®â­®á¨â¥«ì­® ã­¨â à­ëå ¯à¥®¡à §®¢ ­¨©. ®í⮬ã ä®à¬ã«

(1.111) ä ªâ¨ç¥áª¨ ­¥

§ ¢¨á¨â ®â ¨á¯®«ì§ã¥¬®£® ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï ®¯¥à â®à®¢ A ¨ , ®­

á¯à ¢¥¤«¨¢ ¯à¨

«î¡®¬,

­¥ ⮫쪮 ¯à¨ ¨á¯®«ì§®¢ ¢è¥¬áï ¢ëè¥ x-¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¨ ®¯¥à â®à®¢. -

¯à¨¬¥à, ¢ ¤¨áªà¥â­®¬ n-¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¨:

X

< A >=

Amn nm

(1.115)

mn

£¤¥ Amn { ¬ âà¨ç­ë¥ í«¥¬¥­âë ®¯¥à â®à

A ¢ n-¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¨, nm { ¬ âà¨æ

¯«®â­®á⨠¢ n-¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¨.

âà¨æ

¯«®â­®á⨠(áâ â¨áâ¨ç¥áª¨© ®¯¥à â®à) íନ⮢ :

?(x; x0) = (x0; x)

(1.116)

çâ® á«¥¤ã¥â ­¥¯®á।á⢥­­® ¨§ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï (1.112). ¯®¬®éìî ¯à®¥ªæ¨®­­®£®

®¯¥à â®à

(1.103) áâ â¨áâ¨ç¥áª¨© ®¯¥à â®à (1.112) ¬®¦­® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥:

=

X

wkP k ;

X

wk = 1;

wk 1

(1.117)

k

k

£¤¥ P k { ¯à®¥ªæ¨®­­ë© ®¯¥à â®à ­ á®áâ®ï­¨¥

k. ç áâ­®¬ á«ãç ¥, ª®£¤ à ¢­ë

­ã«î ¢á¥ wk, ªà®¬¥ ®¤­®£®, à ¢­®£® ¥¤¨­¨æ¥, áâ â¨áâ¨ç¥áª¨© ®¯¥à â®à (1.117) ¯à®áâ®

ᮢ¯ ¤ ¥â á ¯à®¥ªæ¨®­­ë¬ ®¯¥à â®à®¬ (1.103).

§ ª«î祭¨¥ ¯®ª ¦¥¬, çâ® áâ ⮯¥à â®à ¯®«®¦¨â¥«ì­® ®¯à¥¤¥«¥­, â.¥. ­¥ ¨¬¥¥â

®âà¨æ ⥫ì­ëå ᮡá⢥­­ëå §­ 祭¨©. ®áª®«ìªã íନ⮢, ãá«®¢¨¥ ¯®«®¦¨â¥«ì-

­®© ®¯à¥¤¥«¥­­®á⨠¥£® ᮡá⢥­­ëå §­ 祭¨© § ¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥:

< A2 >= Sp( A2) 0

(1.118)

£¤¥ A { ¯à®¨§¢®«ì­ë© íନ⮢ ®¯¥à â®à. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯à¨¢®¤ï ª ¤¨ £®­ «ì­®¬ã

¢¨¤ã, çâ® ¢®§¬®¦­® ¨§-§ ¥£® íନ⮢®áâ¨, § ¯¨è¥¬ (1.118) ¢ ¢¨¤¥:

X

nnAnkAkn

=

X

nnjAnkj2 0;

(1.119)

nk

nk

30

çâ® ¢«¥ç¥â nn 0. «ï ¬ âà¨æë ¯«®â­®á⨠(1.112) ᢮©á⢮ (1.118) ¢ë¯®«­¥­®,

â.ª.

X

X

X

< A2 >=

wk(A2)kk =

wkAkmAmk =

wkjAkmj2

0

(1.120)

k

km

km

â ª çâ® áâ â¨áâ¨ç¥áª¨© ®¯¥à â®à ¯®«®¦¨â¥«ì­® ®¯à¥¤¥«¥­. ®¦­® â ª¦¥ ¯®ª § âì,

çâ® ¢á¥ ¬ âà¨ç­ë¥ í«¥¬¥­âë ¬ âà¨æë ¯«®â­®á⨠®£à ­¨ç¥­ë [4]:

Sp 2 =

X

j mnj2 1:

(1.121)

mn

¢ ­â®¢®¥ ãà ¢­¥­¨¥ ¨ã¢¨««ï.

áᬮâਬ ¢à¥¬¥­­ãî í¢®«îæ¨î ¬ âà¨æë ¯«®â­®á⨠(áâ ⮯¥à â®à ) ¤«ï ­á ¬- ¡«ï á¨á⥬ á £ ¬¨«ìâ®­¨ ­®¬ H, ª®â®àë© ­¥ § ¢¨á¨â ® ®â ¢à¥¬¥­¨. ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ t áâ ⮯¥à â®à (1.112) ¨¬¥¥â ¢¨¤:

(x; x0) =

w

k

(x; t)

?

(x0; t)

(1.122)

k

k

k

X

£¤¥ ¢áï § ¢¨á¨¬®áâì ®â ¢à¥¬¥­¨ ᮤ¥à¦¨âáï ¢ ¢®«­®¢ëå äã­ªæ¨ïå,

¢¥à®ïâ­®á⨠wk

­¥ § ¢¨áïâ ®â t, â.ª. ®­¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîâ à á¯à¥¤¥«¥­¨î á¨á⥬ ¢ ­á ¬¡«¥ ¯à¨ t = 0.®«­®¢ë¥ ä㭪樨 k(x; t) ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© à¥è¥­¨ï ãà ¢­¥­¨ï ।¨­£¥à , 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ­ ç «ì­ë¬ ãá«®¢¨ï¬:

k(x; t)jt=0 = k(x)

(1.123)

£¤¥ k(x) - ­¥ª®â®à ï á¨á⥬ ¢®«­®¢ëå ä㭪権, ®¯à¥¤¥«ïîé¨å ¬ âà¨æã ¯«®â­®- á⨠¯à¨ t = 0:

(x; x0) = wk k(x) k?(x0) (1.124)

Xk

᫨ ¢ ­ ç «ì­ë© ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ ®â­®á¨â¥«ì­®¥ ç¨á«® wk ¤¨­ ¬¨ç¥áª¨å á¨á⥬

­

室¨«®áì ¢ á®áâ®ï­¨¨

k(x; 0), â® ¢ ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ t â ª®¥ ¦¥ ç¨á«® á¨á⥬ ¡ã¤¥â

­

室¨âìáï ¢ á®áâ®ï­¨¨

k(x; t).

§¬¥­¥­¨¥ á®áâ®ï­¨ï

k(x; t) ¢® ¢à¥¬¥­¨ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ãà ¢­¥­¨¥¬ ।¨­£¥à :

ih @ k(x; t) = H (x; t)

@t

¨«¨, ¢ ¬ âà¨ç­®¬ x-¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¨:

Z

ih

@ k(x; t)

=

dx0H(x; x0)

k(x0; t)

@t

®®â¢¥âá⢥­­®, ¬ âà¨æ ¯«®â­®á⨠㤮¢«¥â¢®àï¥â ãà ¢­¥­¨î:

ih@ (x; x0; t)

=

Z

X

@t

=

dx00

[H(x; x00)wk k(x00; t) k?(x0; t) ; wk k(x; t) k?(x00; t)H(x00; x0)] =

k

= Z dx00 [H(x; x00) (x00; x0; t) ; (x; x00; t)H(x00; x0)]

(1.125)

(1.126)

(1.127)

31

£¤¥ ¨á¯®«ì§®¢ «¨ íନ⮢®áâì £ ¬¨«ìâ®­¨ ­ H?(x; x0) = H(x0; x). ª¨¬ ®¡à §®¬ ¬ë ¯®«ãç ¥¬ ãà ¢­¥­¨¥ ¤¢¨¦¥­¨¥ ¤«ï ¬ âà¨æë ¯«®â­®á⨠| ª¢ ­â®¢®¥ ãà ¢­¥­¨¥¨ã¢¨««ï. ®¯¥à â®à­®¬ ¢¨¤¥ § ¯¨áë¢ ¥¬ ¥£® ª ª:

ih@@t = [H; ]

(1.128)

£¤¥

1

1

[H; ] =

(H ; H) fH; g

(1.129)

ih

ih

{ ª¢ ­â®¢ë¥ ᪮¡ª¨ ã áá®­ .

«ï á¨á⥬, ­ 室ïé¨åáï ¢ áâ â¨áâ¨ç¥áª®¬ à ¢­®¢¥á¨¨ ­¥ § ¢¨á¨â ® ®â

¢à¥¬¥­¨ ¨ ª¢ ­â®¢®¥ ãà ¢­¥­¨¥ ¨ã¢¨««ï ¯à¨®¡à¥â ¥â ¢¨¤:

[H; ] = 0

(1.130)

â ª çâ® ª®¬¬ãâ¨àã¥â á £ ¬¨«ìâ®­¨ ­®¬ ¨ ï¥âáï ¨­â¥£à «®¬ ¤¢¨¦¥­¨ï,

­ «®-

£¨ç­® á¨âã 樨 ¢ ª« áá¨ç¥áª®© áâ â¨áâ¨ç¥áª®© ¬¥å ­¨ª¥. ®¬¬ãâ ⨢­®áâì ®¯¥à - â®à®¢ ¨ H ¨ ¨å íନ⮢®áâì ®§­ ç îâ, çâ® ®­¨ ¨¬¥îâ ®¡éãî á¨á⥬ã ᮡá⢥­­ëå ä㭪権. ®í⮬ã áâ ⮯¥à â®à à ¢­®¢¥á­®© á¨áâ¥¬ë ¬®¦­® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥:

(x; x0) =

X

w(Ek) k(x) k?(x0)

(1.131)

k

£¤¥ ¢®«­®¢ë¥ ä㭪樨 㦥 ¥áâì ᮡá⢥­­ë¥ ä㭪樨 £ ¬¨«ìâ®­¨ ­ (áâ 樮­ à- ­®£® ãà ¢­¥­¨ï ।¨­£¥à ):

H k = Ek k

(1.132)

ª¢ ­в®¢®© ¬¥е ­¨ª¥ ­¥ ¢б¥ б®¡бв¢¥­­л¥ дг­ªж¨¨ п¢«повбп ¤®¯гбв¨¬л¬¨,

«¨èì

â¥, ª®â®àë¥ ã¤®¢«¥â¢®àïîâ ­¥®¡å®¤¨¬ë¬ ᢮©á⢠¬ ᨬ¬¥âਨ. ¯à¨¬¥à, ¤«ï á¨- á⥬ë ä¥à¬¨®­®¢ ¤®¯ãá⨬ë ⮫쪮 ­â¨á¨¬¬¥âà¨ç­ë¥, ¤«ï ¡®§®­®¢ { ᨬ¬¥- âà¨ç­ë¥ (á¢ï§ì ᯨ­ ¨ áâ â¨á⨪¨). ®í⮬㠢 (1.131) ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï á㬬¨à®¢ - ­¨¥ ­¥ ¯® ¢á¥¬, ⮫쪮 ¯® ¤®¯ãáâ¨¬ë¬ ª¢ ­â®¢ë¬ á®áâ®ï­¨ï¬ á¨á⥬ë.

¨ªà®ª ­®­¨ç¥áª®¥ à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¢ ª¢ ­- ⮢®© áâ â¨á⨪¥.

á­®¢­ë¥ ¨¤¥¨ ⥮ਨ áâ â¨áâ¨ç¥áª¨å ­á ¬¡«¥© ¨¡¡á ­¥¯®á।á⢥­­® ¬®£ãâ ¡ëâì ®¡®¡é¥­ë á ª« áá¨ç¥áª®£® ­ ª¢ ­â®¢ë© á«ãç ©. á®áâ®ï­¨¨ à ¢­®¢¥á¨ï ¬ - âà¨æ ¯«®â­®á⨠¬®¦¥â § ¢¨á¥âì «¨èì ®â ¤¤¨â¨¢­ëå ¨­в¥£а «®¢ ¤¢¨¦¥­¨п, ¯® ¯а¨з¨­ ¬, б®¢¥аи¥­­® ­ «®£¨з­л¬ а бᬮва¥­­л¬ ¢ли¥ ¤«п ª« бб¨з¥бª®£® б«г- з п (д ªв®а¨§ ж¨п ¬ ва¨жл ¯«®в­®бв¨ ¤«п бв в¨бв¨з¥бª¨ ­¥§ ¢¨б¨¬ле б¨бв¥¬ ¨ ¤¤¨в¨¢­®бвм ¥¥ «®£ а¨д¬ ). ª¢ ­в®¢®© ¬¥е ­¨ª¥ в ª¨¬¨ ¨­в¥£а « ¬¨ ¤¢¨¦¥­¨п ®¯пвм ¦¥ п¢«повбп: ¯®«­ п н­¥а£¨п б¨бв¥¬л (®¯¥а в®а ¬¨«мв®­ H), ¯®«­л© ¨¬- ¯г«мб P ¨ ¯®«­ë© ¬®¬¥­â ¨¬¯ã«ìá M (ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ®¯¥à â®àë, ¤¥©áâ¢ãî騥

¢ ¯à®áâà ­á⢥ ¢®«­®¢ëå ä㭪権). ®®â¢¥âá⢥­­®, à ¢­®¢¥á­ ï ¬ âà¨æ

¯«®â­®-

á⨠¬®¦¥â ¡ëâì ä㭪樥© ⮫쪮 ®â H, P, M:

= (H; P; M)

(1.133)

Смотрите также файлы