Задачи 231–240. Дана функция z = z(x; y) , точка A(x0 ; y0 ) и вектор a . Найти gradz в точке А и производную функции z в точке А по направлению вектора a .
221. |
z = arctg(x2 y) , |
A ( 2 ; 1), a = 3 i + 4 j . |
222. |
z = ln(4x2 +5y2 ) , |
A(1;1), |
a =15i −8 j . |
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
223. |
z = arcsin |
|
|
|
, |
A(3;1), |
a =12i − 5 j . |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
224. |
z = |
x2 − y2 , |
|
A(5; 4), |
a =8i −15 j . |
225. |
z = 2x2 + 3xy + 4 y , |
A(1; 3), |
a = 4i + 3 j . |
226. |
z = arctg |
xy , |
|
A(1; 4), |
a = 5i +12 j . |
227. |
z = ln(x2 + 2xy + y2 ) , |
A(1;1), |
a = 6i +8 j . |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
228. |
z = arccos |
|
, |
A(1; 3), |
a =8i −6 j . |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
229. |
z = ln(1+ |
|
xy ), |
A(1; 4), |
a = 5i −12 j . |
230. |
z = |
x |
− |
y |
, |
|
|
|
|
A(1;1), |
a = 3i − 4 j . |
y |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тема 9. Числовые и степенные ряды
Задачи 231–240. Исследовать сходимость числового ряда.
∞ |
n2 |
|
+1 |
; |
|
|
|
|
231. а) ∑ |
|
2 |
n |
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
7 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
232. а) ∑ |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
n |
n! |
|
|
|
|
|
n=1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
3 |
n |
|
|
|
|
|
|
233. а) ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
(n + |
1)! |
|
n=1 |
|
|
|
∞ |
|
3n +1 |
|
|
234. а) ∑ |
|
|
; |
2 |
n |
n=1 |
|
(n +1)! |
|
∞
∑
n=1
∞
∑
n=1
∞
∑
n=1
∞
∑
n=1
3n + 7 . n3 + 5n + 2
2n +1 . (n +1)2
1 . n2 + n +1
sin 1 .n2
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
235. |
а) ∑ n +n2 |
; |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
n4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
n |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
236. |
а) ∑ |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
2n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
237. |
а) ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
(n +1)2 |
n |
|
|
n=1 |
|
|
|
238. |
∞ |
2n −1 |
; |
|
|
|
а) ∑ |
3 |
n |
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
239. |
∞ |
(n + 2) |
2 |
|
; |
а) ∑ |
|
|
|
n=1 |
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
∞1
240.а) ∑ (2n +1)!;n=1
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
n |
2 |
|
+ n + |
1 |
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
2 |
2n + 6 . |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
n + 4n + 3 |
|
|
∑cos |
12 . |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
∞ |
n2 + 2 |
2 |
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
2 |
+1 |
n=1 |
2n |
|
|
|
|
|
∑ n |
2 |
5+ 4n + 4 . |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
3n |
|
+ 6n −1 |
|
∞ |
|
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
+ |
1 |
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи
ного ряда.
∞
241. ∑
n=1
∞
243. ∑
n=1
241–250. Найти радиус и интервал сходимости степен-
(x −1)n . 3n+1
(x +1)n . n +1
∞
242. ∑
n=1
∞
244. ∑
n=1
nxn . (n +1)!
(n +1)2 xn . 2n
245. |
∞ |
(x |
+ 2)n |
. |
∑ |
n! n |
|
n=1 |
|
247. |
∞ |
n xn |
|
|
∑ |
|
n . |
|
|
n=1 |
3 |
|
|
|
|
∞ |
x |
n |
|
|
249. |
∑ |
|
|
. |
|
3n +1 |
|
|
n=1 |
|
|
Задачи 251–260. Вычислить
∞ (x −1)n 246. ∑ .
n=1 n n
∞
248. ∑ n5n xn .
n=1
∞(x −3)n
250.∑ .
n=1 n5n
b
∫ f (x)dx с точностью до 0,001, раз-
a
ложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно.
0,5 ln(1 |
+ x2 ) |
|
252. ∫ |
|
|
|
dx. |
|
x |
0 |
|
|
179
1
253. ∫ x2 cos xdx.
0
255. 1 e−x2 dx.
∫
0
1
257. ∫ sin x2dx.
0
1
259. ∫ x sin xdx.
0
0,5
254. ∫ 1+ x3 dx.
0
0,5 xdx
256. 0∫ 1+ x3 .
0,5 sin x
258. ∫ dx.
0 x
0,5 dx
260. 0∫ 1+ x4 .
Задачи 261–270. Найти три первых отличных от нуля члена раз-
ложения в степенной ряд решения |
y = y(x) дифференциального |
уравнения y′ = f (x; y) , |
удовлетворяющего |
начальному |
условию |
y(0) = y0 . |
|
|
|
|
|
|
261. |
y′ = e2 x + y, |
y(0) = 2. |
262. |
y′ = ey + xy, |
|
y(0) =1. |
263. |
y′ = x2 + y2 , |
y(0) =1. |
264. |
y′ = cos x + ey , |
y(0) =1. |
265. |
y′ = e−x + y2 , |
y(0) = 2. |
266. |
y′ = sin x + xy, |
y(0) =1. |
267. |
y′ =sin x + y2 , |
y(0) =1. |
268. |
y′ = x + y3 , |
y(0) = 2. |
269. |
y′ = ex − y, |
y(0) = 2. |
270. |
y′ = x + ey , |
y(0) = 0. |
Тема 10. Кратные и криволинейные интегралы, их применение
Задачи 271–280. Изменить порядок интегрирования. Изобразить область интегрирования.
|
1 |
y |
|
2 |
x2 |
271. |
∫ dy ∫ f (x, y)dx. |
272. |
∫ dx |
∫ f (x, y)dy. |
|
0 |
y |
|
1 |
1 |
|
2 |
6−x |
|
1 |
3 x |
273. |
∫ dx |
∫ f (x, y)dy. |
274. |
∫ dx |
∫ f (x, y)dy. |
|
0 |
2 x |
|
0 |
2 x |
|
2 |
4+2 x |
|
1 |
1−x2 |
275. |
∫ dx ∫ f (x, y)dy. |
276. |
∫ dx |
∫ f (x, y)dy. |
|
0 |
2 x |
|
−1 |
0 |
180
|
1 |
x |
277. |
∫ dx ∫ |
f (x, y)dy. |
|
0 |
x3 |
|
|
1 |
2−y2 |
279. |
∫ dy |
|
∫ f (x, y)dx. |
|
0 |
|
y |
1 |
1−y |
278. ∫ dy |
∫ f (x, y)dx. |
0 |
− 1−y2 |
57−x
280.∫ dx ∫ f (x, y)dy.
210
x
Задачи 281–290. Вычислить двойной интеграл по области D, огра-
ниченной указанными линиями. |
|
|
|
|
|
|
|
|
281. |
∫∫( y +1)dxdy , |
где |
D : x = y2 , |
x =5y . |
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
282. |
∫∫ |
y |
dxdy , |
где |
D : x = y, xy =1, |
y = 2 . |
|
|
2 |
|
|
|
D |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
283. |
∫∫(x +1)dxdy , |
где |
D : y =1 − x 2 , y = x 2 −1. |
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
284. |
∫∫ xdxdy , |
где |
D : y = x2 , |
y = |
|
|
2 |
. |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
+ x |
|
|
285. |
∫∫( y + x)dxdy , |
где D: y = x2 −1, y =1 − x2 . |
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
286. |
∫∫ |
1 − (x2 + y2 )dxdy , где D – полукруг: x2 + y2 |
≤1, |
x ≥ 0. |
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
287. |
∫∫(x − y2 )dxdy , |
где D: y = x2 , |
y = 4 . |
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
288. ∫∫ex2 +y2 dxdy , |
где D – четверть круга: x2 |
+ y2 |
≤1, рас- |
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
положенного в первом квадранте. |
|
|
|
|
|
|
|
|
289. |
∫∫ xdxdy , |
где D: xy = 6, |
y + x − 7 = 0 . |
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
290. |
∫∫(x2 + y)dxdy , |
где D: y = x2 , |
y2 = x . |
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи 291–300. Переходя к цилиндрическим координатам, вычислить с помощью тройного интеграла объемы тел, ограниченных указанными поверхностями. Изобразить данные тела.
291. z = x2 + y2 −1, z = 0 .
181