|
x = e |
t |
, |
|
|
|
|
x = t2 , |
|
|
|
|
61. |
|
|
|
|
62. |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
3 |
−t. |
|
y = cos t. |
|
|
y = |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
63. |
x = t cos t, |
64. |
x = t −sin t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−cos t. |
|
y = t sin t. |
|
|
y =1 |
65. |
x = 2t −t3 , |
66. |
x =1 −t2 , |
|
|
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
. |
|
y = 3t |
|
|
|
|
y = t |
−t |
|
x = 3cos t, |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
67. |
68. |
x = cos |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
t. |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
y = 4 sin |
|
|
|
|
−sin t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = t |
69. |
x = t3 +8t, |
70. |
x = cos 3t, |
|
5 |
+ 2t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = t |
|
|
|
y = sin 3t. |
Тема 4. Исследование функций и построение графиков
Задачи
график. 71. y =
73. y =
75. y =
77. y =
71–80. Исследовать функцию y = f (x) и построить ее
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
. |
|
|
|
72. |
y = |
x3 + 4 |
. |
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
x2 |
+3x + 6 |
. |
74. |
y = |
x2 |
− x −1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 2 |
|
|
|
|
|
x +1 |
|
x |
|
|
. |
|
|
76. |
y = |
|
x2 |
+1 |
. |
|
x2 |
−1 |
|
|
|
|
|
1− x2 |
|
|
|
2x2 + x +1 |
. |
78. |
y = |
|
|
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
x2 |
+1 |
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
79. |
y = |
|
8 |
. |
|
80. |
y = |
|
|
x |
. |
x2 |
− 4 |
|
1 |
+ x2 |
|
|
|
|
|
|
|
Задачи 81–90. Найти наибольшее и наименьшее значения функ- |
ции y = f (x) |
на отрезке [a; b]. |
|
|
|
|
|
81. |
f (x) = 1 x3 |
− |
3 x2 + 2x, |
[0; 3]. |
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
169 |
82. |
f (x) =18x2 +8x3 −3x4 , |
[0; 4]. |
83. |
f (x) = x4 |
− 2x2 , |
[0; 2]. |
84. |
f (x) = x3 |
−12x, |
[–1; 3]. |
85. |
f (x) = |
x |
+ |
2 |
[1; 6]. |
|
|
x |
|
8 |
|
|
|
|
|
86. |
f (x) = |
x |
|
+ |
3 , |
[–5; –1]. |
|
|
3 |
|
|
|
x |
|
87. |
f (x) = x3 |
|
−3x2 +3x + 2, |
[–2; 2]. |
88. |
f (x) = x3 |
−3x2 , |
[1; 3]. |
89. |
f (x) = x4 |
+ 4x, |
[–2; 2]. |
90. |
f (x) = x3 |
|
−12x + 7, |
[0; 3]. |
Тема 5. Неопределенный интеграл и его вычисление
Задачи 91–100. Вычислить неопределенные интегралы: а) методом замены переменной; б) методом интегрирования по частям.
91. |
а) ∫ |
ln xdx |
; |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
92. |
а) ∫ |
(arctgx)2 dx |
; |
1 + x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
93. |
а) ∫ xex2 dx; |
|
|
|
|
|
94. |
а) ∫ |
sin xdx |
; |
|
|
cos |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
95. |
а) ∫ |
xdx |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 +1 |
|
|
96.а) ∫ (2x −3)dx ;
x2 −3x +8
97.а) ∫sin3 xcos xdx;
б) ∫(2x2 + x +1)ex dx.
x
б) ∫(3x + 2)e2 dx.
б) ∫(x2 − x +1)sin xdx.
б) ∫ x2 ln xdx.
б) ∫ (3x2 + 2x −1) cos xdx.
б) ∫ (2x +5)e3 x+1dx.
б) ∫ xln xdx.
98. а) ∫ |
dx |
; |
|
б) ∫arctg xdx. |
x ln x |
|
|
|
|
|
99. а) ∫ |
x4 dx |
|
; |
б) ∫(x +1)cos 2xdx. |
1+ x5 |
100. а) ∫esin x cos xdx; |
б) ∫ ln xdx2 . |
|
|
|
|
x |
Задачи 101–110. Вычислить неопределенные интегралы.
101. ∫ |
3x2 − 2x +1 |
(x −1)(x2 |
+1) |
dx . |
103. ∫ |
x2 − x +5 |
(1− x)(x2 |
+ 4) |
dx . |
x+3x − 2
105.∫ (x −1)(x2 +1) dx .2
x2 − x + 2
107. ∫ (x + 2)(x2 + 4) dx .
3x2 − 2x +1 109. ∫ (x −1)(x2 +1) dx .
|
∫ |
4x +9 |
102. |
|
|
dx . |
(2 − x)(x2 + 4x +5) |
|
∫ |
x + 2 |
104. |
|
dx . |
x(x2 + 2x + 2) |
2x + 4
106. ∫ (x − 2)(x2 + 4) dx .
2x2 − 4x +32 108. ∫ x(x2 +16) dx .
18−6x
110.∫ (x +3)(x2 +9) dx .
Задачи 111–120. Вычислить неопределенные интегралы от иррациональных и от тригонометрических функций.
dx
111. а) ∫ 2 x +1 + 3 (x +1)2 ;
112. а) ∫ |
|
dx |
|
|
; |
|
|
3x + |
2 − |
|
|
|
1 |
|
113. а) ∫ |
|
xdx |
; |
|
|
|
|
|
|
x − 4 |
|
|
|
|
114. а) ∫ |
|
|
dx |
|
; |
4 |
(x −1) |
3 |
+ 4 |
|
|
x −1 |
115. а) ∫ |
|
dx |
|
|
; |
|
|
2x + |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) ∫ sin3 xdx.
б) ∫ sin2 x cos3 xdx.
б) ∫ sin3 xdx . cos x
б) ∫ sin2 2xdx.
б) ∫ cos3 xdx . sin2 x
171
116. а) ∫ |
3 |
2x −1dx |
; |
|
+ |
2x −1 |
|
117. а) ∫ |
|
|
dx |
|
|
|
; |
|
x |
(4 + |
4 |
|
|
|
|
|
x) |
118. а) ∫ |
|
|
dx |
|
|
|
; |
|
x |
(2 + |
3 |
|
|
|
|
|
x) |
119. а) ∫ |
|
|
|
dx |
|
; |
|
4x +1 − |
|
4 |
|
|
|
|
4x +1 |
120. а) ∫ |
|
|
|
dx |
|
; |
|
x |
+1(1 − |
3 |
|
|
|
x +1) |
б) ∫ cos3 xdx.
б) ∫ sin2 3xdx.
б) ∫ tg3 xdx.
б) ∫ cos2 5xdx.
б) ∫ ctg3 xdx.
Тема 6. Определенный интеграл и его применение
Задачи 121–130. Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями, и изобразить фигуру на чертеже.
121. |
y = x2 |
− 4x + 4, |
y + x = 4 . |
122. |
y = x2 |
+ 4x +5, |
y − 2x =8 . |
123. |
y =1+ ex , x + y = 2, x = 2 . |
124. |
y = −x2 + 4x +1, |
y − x −1 = 0 . |
125.4y = x2 , y2 = 4x.
126.xy = 6, x + y −7 = 0.
127.y = x2 − 2x +1, y = −x2 + 2x +1.
128. y = ex , y = e−x , x = 1.
129.xy = 4, x = 4, y = 4 .
130.y =16x , y =17 − x .
Задачи 131–140. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры вокруг оси Ox (задачи 131–136) или вокруг оси Oy (задачи 137–
140), ограниченнойуказаннымилиниями. Изобразитьфигурунарисунке.
172