Файл: Волк_Высшая математика.2010.pdf

ПРОГРАММА КУРСА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

Тема 1. Элементы линейной алгебры

ианалитической геометрии

1.Матрицы. Действия над матрицами. Ранг матрицы. Обратная матрица.

2.Определители второго и третьего порядков, их свойства и вычисление. Определители n-го порядка.

3.Обратная матрица. Ранг матрицы.

4.Системы линейных уравнений. Матричная форма записи. Совместность и несовместность систем. Теорема Кронекера – Капелли. Решение систем методами Крамера, Гаусса и обратной матрицы.

5.Векторы. Линейные операции над векторами и их свойства.

6.Проекция вектора на ось. Прямоугольная система координат в пространстве. Ортонормированная тройка векторов. Координаты вектора. Направляющие косинусы и длина вектора. Линейные операции над векторами в координатной форме.

7.Линейно независимые системы векторов. Базис. Ортонормированный базис. Разложение вектора по базису.

8.Скалярное произведение векторов и его свойства.

9.Векторное произведение двух векторов и его свойства. Вычисление площади треугольника, построенного на двух векторах.

10.Смешанное произведение векторов и его свойства. Вычисление объема пирамиды, построенной на трех векторах.

11.Взаимное расположение векторов: перпендикулярность, параллельность, компланарность, угол между векторами.

12.Декартовая и полярная системы координат на плоскости. Уравнение линий на плоскости.

13.Различные формы уравнения прямой на плоскости. Расстояние от точки до прямой. Взаимное расположение прямых на плоскости.

14.Кривые 2-го порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола.

15.Уравнение плоскости и прямой в пространстве. Расстояние от точки до плоскости. Взаимное расположение плоскостей, прямых, прямой и плоскости.

Тема 2. Введение в математический анализ

1. Множества и функции. Области определения и изменения функции. Способы задания. Классификация функций. Основные

8

элементарные функции. Сложная функция. Функции, заданные параметрически и неявно.

2.Окрестность конечной и бесконечно удаленной точки. Конечный и бесконечный пределы функции. Односторонние пределы.

3.Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства.

4.Основные теоремы о пределах. Раскрытие неопределенностей.

5.Определение касательной к графику функции. Число e. Натуральные логарифмы. Первый и второй замечательные пределы.

6.Сравнение бесконечно малых величин. Эквивалентные бесконечно малые. Использование эквивалентных бесконечно малых при вычислении пределов.

7.Непрерывность функции в точке и на отрезке. Критерий непрерывности функции в точке. Точки разрыва и их классификация. Основные теоремы о непрерывных функциях.

Тема 3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

1.Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Дифференцируемость и непрерывность.

2.Основные правила дифференцирования. Производная сложной

иобратной функций.

3.Производные основных элементарных функций. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно.

4.Дифференциал функции и его геометрический смысл. Основные свойства дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

5.Производные и дифференциалы высших порядков.

6.Основные теоремы о дифференцируемых функциях (Ролля, Коши, Лагранжа). Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей.

Тема 4. Исследование функций с помощью производных

1.Возрастание и убывание функции. Необходимые и достаточные условия возрастания и убывания дифференцируемой функции.

2.Понятие о локальном экстремуме функции. Необходимые условия экстремума дифференцируемой и непрерывной функций.

9

3.Достаточные условия экстремума по первой и второй производной. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функций на замкнутом промежутке.

4.Асимптоты графика функции. Вертикальные и наклонные асимптоты и их нахождение.

5.Выпуклые и вогнутые функции. Достаточные условия выпуклости и вогнутости функций. Точки перегиба.

6.Общая схема исследования функции и построение ее графика.

Тема 5. Неопределенный интеграл

1.Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица неопределенных интегралов.

2.Методы нахождения неопределенных интегралов: интегрирование по частям и заменой переменной.

3.Интегрирование рациональных функций.

4.Интегрирование простейших иррациональных функций и тригонометрических выражений.

Тема 6. Определенный интеграл, несобственные интегралы

1.Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла (о площади криволинейной трапеции, о нахождении пути, пройденного материальной точкой). Определенный интеграл и его основные свойства.

2.Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона – Лейбница.

3.Замена переменной в определенном интеграле.

4.Интегрирование по частям в определенном интеграле.

5.Приложение определенных интегралов к вычислению площадей плоских фигур, длин дуг кривых, объемов тел и площадей поверхностей вращения. Физические приложения определенного интеграла.

6.Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Абсолютная и условная сходимость. Признаки сходимости.

Тема 7. Обыкновенные дифференциальные уравнения

1.Дифференциальныеуравнения. Основныепонятияиопределения.

2.Дифференциальные уравнения первого порядка (решение, общее решение, начальные условия, частное решение). Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

10

3.Основные классы уравнений первого порядка, интегрируемых

вквадратурах (уравнения с разделяющимися переменными, однородные, линейные, Бернулли).

4.Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши и частное решение. Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.

5.Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Свойства решений.

6.Линейные однородные дифференциальные уравнения. Структура общего решения.

7.Линейные неоднородные уравнения. Структура общего решения.

8.Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

9.Линейные неоднородные уравнения второго порядка со специальной правой частью. Метод подбора частных решений.

10.Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.

11.Общее понятие о системах дифференциальных уравнений, задача Коши. Нормальные системы дифференциальных уравнений. Линейные системы дифференциальных уравнений с двумя неизвестными функциями и их решение методом сведения к дифференциальному уравнению второго порядка с одной неизвестной функцией.

Тема 8. Функции нескольких переменных

1.Понятие функции нескольких переменных, область определения, значений и график. Функция нескольких переменных как функция точки.

2.Линии уровня. Поверхности второго порядка и их канонические уравнения.

3.Предел и непрерывность функции двух переменных.

4.Частные производные. Полный и частный дифференциалы функции многих переменных. Инвариантность формы полного дифференциала. Дифференцирование сложных и неявно заданных функций.

5.Градиент и производная по направлению функции нескольких переменных, их свойства.

6.Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

7.Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях.

8.Частные производные и дифференциалы высших порядков.

11

9.Экстремумы функций двух переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.

10.Условный экстремум. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области.

Тема 9. Ряды

1.Основные понятия. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда.

2.Необходимый признак сходимости числового ряда. Свойства сходящихся числовых рядов.

3.Знакоположительные ряды. Первый и второй признаки сравнения, признак Даламбера, интегральный признак Коши.

4.Знакопеременные ряды. Абсолютная и уловная сходимость. Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница. Оценка остатка знакочередующегося ряда.

5.Функциональные ряды, область сходимости и сумма ряда. Степенные ряды. Радиус, интервал и область сходимости степенного ряда. Непрерывность суммы, интегрирование и дифференцирование степенных рядов.

6.Ряд Тейлора. Разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора.

7.Применение степенных рядов в приближенных вычислениях

ик решению дифференциальных уравнений.

Тема 10. Кратные интегралы

1.Задачи, приводящие к двойному интегралу. Двойной интеграл

иего свойства. Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием в декартовых и полярных координатах. Изменение порядка интегрирования.

2.Тройной интеграл и его свойства. Вычисление тройных интегралов повторным интегрированием в декартовых и цилиндрических координатах.

3.Геометрические и физические приложения кратных интегралов.

Тема 11. Криволинейные и поверхностные интегралы

èтеория поля

1.Криволинейные интегралы первого и второго рода, их основные свойства и вычисление.

12

2.Понятие о поверхностных интегралах, их свойства и вычисление.

3.Скалярные и векторные поля. Потенциальные и соленоидальные поля.

4.Поток векторного поля через ориентированную поверхность, его физический смысл. Дивергенция векторного поля, ее физический смысл и вычисление.

5.Формула Грина. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования. Нахождение функции по

ееполному дифференциалу.

Тема 12. Теория вероятностей

1.Предмет теории вероятностей. Понятие случайного события. Классификация случайных событий. Пространство элементарных событий.

2.Классическое определение вероятности. Непосредственный подсчет вероятности. Статистическая вероятность.

3.Сумма и произведение событий и их свойства. Геометрическая интерпретация. Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Зависимые и независимые события. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Теорема сложения вероятностей совместных событий.

4.Формула полной вероятности. Формула Байеса. Схема Бернулли. Формула Бернулли. Предельные теоремы: Пуассона, локальная и интегральная теоремы Муавра – Лапласа.

5.Понятие случайной величины. Типы случайных величин. Дискретная случайная величина. Ряд распределения и его свойства. Интегральная функция распределения случайной величины и ее свойства. Числовые характеристики дискретной случайной величины: математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонениеиихсвойства.

6.Непрерывная случайная величина. Интегральная и дифференциальная функции распределения и их свойства. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.

7.Законы распределения случайных величин и их числовые характеристики (биномиальный, Пуассона, равномерный, показательный, нормальный). Функция Лапласа и ее свойства. Правило трех сигм и его практическое значение.

8.Двумерные случайные величины. Дискретные и непрерывные. Одномерные составляющие. Числовые характеристики двумерной случайной величины.

13