ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 18.05.2025
Просмотров: 475
Скачиваний: 1
В области D функция может иметь несколько локальных экстремумов или не иметь ни одного.
Необходимые условия существования локального экстремума
Если в точке P0 (x0 ; y0 ) дифференцируемая функция |
z = f (x; y) |
имеет локальный экстремум, то ее частные производные в этой |
|
точке равны нулю: f x' (x0 ; y0 ) = 0 , f y' (x0 ; y0 ) = 0 . |
|
Функция может иметь экстремум в точках, где хотя бы одна из |
|
частных производных не существует. |
|
Если функция z = f (x; y) имеет в точке P0 (x0 ; y0 ) |
локальный |
экстремум, то ее полный дифференциал в этой точке равен нулю или не существует.
Точки, в которых частные производные первого порядка равны нулю, называются стационарными точками. Точки, в которых частные производные первого порядка равны нулю или не существуют, называются критическими точками.
Достаточные условия существования локального экстремума
Пусть в стационарной точке P0 (x0 ; y0 ) и некоторой ее окрестности функция z = f (x; y) имеет непрерывные частные производные первого и второго порядков. Вычислим в точке P0 (x0 ; y0 ) значения частных производных второго порядка
A = f xx' (x0 ; y0 ) , B = f xy' (x0 ; y0 ) , C = f yy' (x0 ; y0 ) .
Обозначим
= |
f xx' (x0 ; y0 ) f xy' (x0 ; y0 ) |
= |
A B |
= AC − B 2 . |
||||||||||
f xy' (x0 ; y0 ) |
f yy' (x0 ; y0 ) |
B C |
||||||||||||
Тогда |
||||||||||||||
> 0 , то |
функция z = |
|||||||||||||
1) |
если |
f (x; y) |
в точке P0 (x0 ; y0 ) |
имеет |
||||||||||
локальный экстремум, а именно: |
||||||||||||||
а) |
P0 (x0 ; y0 ) |
– |
точка |
локального |
максимума, |
если |
||||||||
A = f xx' (x0 ; y0 ) < 0 ; |
||||||||||||||
б) |
P0 (x0 ; y0 ) |
– |
точка |
локального |
минимума, |
если |
||||||||
A = f xx' (x0 ; y0 ) > 0 ; |
||||||||||||||
2) |
если |
< 0 , то функция |
z = f (x; y) в точке |
P0 (x0 ; y0 ) не имеет |
||||||||||
12
экстремума;
3) если D = 0 , то экстремум в точке P0 (x0 ; y0 ) может быть, а может и не быть. Необходимы дополнительные исследования.
9.2.2. Примеры решения задач |
|||||
Пример 1Б. Исследовать |
на экстремум функцию |
||||
z = 10x + 11y - x 2 - xy - y 2 . |
|||||
Решение. Вычислим частные производные первого порядка |
|||||
данной функции: z x' = 10 - 2x - y , z 'y |
= 11 - x - 2 y . |
||||
' |
= 0, |
||||
z x |
|||||
Найдем стационарные точки, решая систему уравнений |
' |
= 0. |
|||
z |
|||||
− 2x − y = 0, |
y |
||||
10 |
Выразим y из первого уравнения и подставим во |
||||
- x - 2 y = 0. |
|||||
11 |
|||||
второе: y = 10 - 2x , 11 - x - 2(10 - 2x) = 0 , 11 - x - 20 + 4x = 0 , 3x = 9 , x = 3 . Тогда y = 10 - 2 × 3 = 4 . Функция имеет одну стационарную точку P0 (3;4) .
Найдем производные второго порядка:
z xx' (x; y) = (10 - 2x - y)'x = -2 , z xy' (x; y) = (10 - 2x - y)'y = -1,
z |
' |
(x; y) = (11 - x - 2 y)' = -2 . |
В |
точке P (3;4) |
A = z |
' |
||||
yy |
y |
0 |
xx |
|||||||
B = z xy' |
(3; 4) = -1, C = z yy' |
(3; 4) = -2 , а тогда |
||||||||
D = |
− 2 |
− 1 |
= 4 -1 = 3 > 0 . |
|||||||
-1 |
- 2 |
|||||||||
(3; 4) = -2 ,
Значит, в |
точке |
P0 (3;4) |
экстремум есть. Так как |
|
A = z ' (3; 4) = -2 < 0 , то |
P (3;4) – |
точка |
локального максимума и |
|
xx |
0 |
|||
zmax (3; 4) =10 × 3 + 11× 4 - 32 - 3 × 4 - 42 = 37 . |
||||
Пример 2Б. Исследовать |
на |
экстремум функцию |
||
z = 4 - 4xy 2 - 24xy - x 2 - 32x . |
||||
Решение. Вычислим частные производные первого порядка |
||||
данной функции: z x' |
= -4 y 2 - 24 y - 2x - 32 , z 'y = -8xy - 24x . |
|||
Найдем стационарные точки, решая систему уравнений
13
' |
= 0, |
- 4 y |
2 |
- 24 y - 2x - 32 |
= 0, 2 y |
2 |
+ 12 y |
+ x + 16 = 0, |
|||||||||||||||||||||||||||
z x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
= 0. |
- 8xy - 24x = 0. |
x( y + 3) = 0. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
z 'y |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последняя система равносильна совокупности систем: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
x = 0, |
или |
y + 3 = 0, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
1) |
2) |
+ 12 y + x + 16 = 0. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
2 y 2 |
+ 12 y + x + 16 = 0, |
2 y 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
x = 0, |
y = −3, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
+ 6 y + 8 = 0. |
= -(2 |
× 9 - 36 + 16) = 2. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
y |
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
x = 0, |
x |
= 0, |
x |
3 |
= 2, |
||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
y1 = -2, y2 = -4. |
y3 = -3. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Получили |
три |
стационарные |
точки: |
P1 (0; - 2) , |
P2 (0; - 4) , |
||||||||||||||||||||||||||||||
P (2; - 3) . |
Найдем |
производные |
второго |
порядка: |
z ' |
= -2 , |
|||||||||||||||||||||||||||||
3 |
xx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
z xy' = -8 y - 24 , z yy' = -8x . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
В |
точке |
P (0; - 2) |
A = z |
' |
(0; - 2) = -2 , |
B = z |
' |
(0; - 2) = |
|||||||||||||||||||||||||||
1 |
xx |
− 2 |
− 8 |
xy |
|||||||||||||||||||||||||||||||
= 16 − 24 = −8 , |
C = z yy' (0; - 2) = 0 , |
тогда |
D1 = |
= -64 < 0 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||
- 8 |
0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Согласно достаточным условиям, в точке P1 (0; - 2) функция |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
экстремума не имеет. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
В |
точке |
P (0; - 4) |
A = z |
' |
(0; - 4) = -2 , |
B = z |
' |
(0; - 4) = |
|||||||||||||||||||||||||||
2 |
xx |
− 2 |
xy |
||||||||||||||||||||||||||||||||
= 32 − 24 = 8 , |
C = z yy' (0; - 4) = 0 , |
тогда |
D2 |
= |
8 |
= -64 < 0 . |
|||||||||||||||||||||||||||||
8 |
0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Согласно достаточным условиям, в точке |
P2 (0; - 4) |
функция |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
экстремума не имеет. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
В |
точке |
P (2; - 3) |
A = z ' |
(2; - 3) = -2 , |
B = z |
' |
(2; - 3) = |
||||||||||||||||||||||||||||
3 |
xx |
− 2 |
xy |
||||||||||||||||||||||||||||||||
= 24 − 24 = 0 |
C = z yy' |
(2; - 3) = -16 , |
тогда |
D3 |
= |
0 |
= 32 > 0 . |
||||||||||||||||||||||||||||
0 |
-16 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Согласно достаточным условиям, в точке |
P3 (2; - 3) |
функция имеет |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
экстремум. |
Так |
как |
A = z ' (2; - 3) = -2 < 0 , |
то |
P (2; - 3) |
– |
точка |
||||||||||||||||||||||||||||
xx |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
локального |
максимума |
и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
zmax (2; - 3) = 4 - 4 × 2 × 9 - 24 × 2 × (-3) - 4 - 64 = 8 .
14
9.2.3. Наименьшее и наибольшее значения (глобальные экстремумы)
функции двух переменных в замкнутой области
Пусть функция z = f (x; y) определена и непрерывна в
ограниченной замкнутой области D . Тогда в области D она достигает своих наименьшего m и наибольшего M значений. Эти значения достигаются либо во внутренних точках области D , либо в точках, лежащих на границе области D .
Точки, в которых функция принимает наименьшее и наибольшее значения в ограниченной замкнутой области, называются точками глобального экстремума.
Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции z = f (x; y) в области D
1. Найти все критические |
точки функции |
z = f (x; y) , |
принадлежащие области D , |
и вычислить значения функции в |
|
этих точках. |
||
2.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x; y) на границе D .
3.Сравнить все найденные значения функции и выбрать из них наименьшее m и наибольшее M .
Пример 1Б. Найти наименьшее и наибольшее значения функции z = x 2 + 3y 2 − 2x − 18 y + 4 в замкнутой области D , ограниченной осью Oy , прямыми y = 4 и y = x .
Решение. Построим область D (рис. 9.2) – треугольник OAB .
y
A B
4
P
0 1 |
4 |
x |
Рис. 9.2 |
1. Определим критические точки, лежащие внутри треугольника OAB . Для этого найдем частные производные: z x' = 2x − 2 ,
15
z 'y = 6 y -18 . |
Приравняв |
частные |
производные к |
нулю, |
получим |
|||||||||||||||||||||
систему |
уравнений |
2x − 2 = 0, |
x = 1, |
Итак, |
стационарная точка |
|||||||||||||||||||||
-18 |
||||||||||||||||||||||||||
6 y |
= 0. y = 3. |
|||||||||||||||||||||||||
P(1; 3) принадлежит области |
D . Находим значение функции в этой |
|||||||||||||||||||||||||
точке z(1; 3) =1 + 3 × 9 - 2 -18 × 3 + 4 = -24 . |
||||||||||||||||||||||||||
2. Исследуем функцию на границе области D , т. е. на отрезках OA , |
||||||||||||||||||||||||||
AB , OB . На отрезке OA |
x = 0 , |
z(0; y) = 3y 2 -18 y + 4 , |
y [0; 4]. |
|||||||||||||||||||||||
Найдем |
критические |
точки |
функции |
одной |
переменной |
|||||||||||||||||||||
z(0; y) = 3y 2 -18 y + 4 |
на |
отрезке |
OA , |
решив |
уравнение |
|||||||||||||||||||||
z 'y = 6 y -18 = 0 . |
Отсюда |
y = 3 [0; 4] |
– |
критическая |
точка. |
|||||||||||||||||||||
z(0;3) = 3 × 9 -18 × 3 + 4 = -23 . |
Найдем значения |
функции |
z(0; y) на |
|||||||||||||||||||||||
концах |
отрезка |
OA : |
z(O) = z(0; 0) = 4 , |
z( A) = z(0; 4) = 3 ×16 - |
||||||||||||||||||||||
-18 × 4 + 4 = -20 . |
||||||||||||||||||||||||||
На отрезке |
AB |
y = 4 , |
z(x; 4) = x 2 - 2x - 20 , x [0; 4]. Находим |
|||||||||||||||||||||||
критические |
точки |
функции z(x; 4) = x 2 - 2x - 20 |
на |
промежутке |
||||||||||||||||||||||
x [0; 4] |
из условия |
dz |
= 2x - 2 = 0 , |
x = 1[0; 4] |
– критическая точка. |
|||||||||||||||||||||
dx |
z(1; 4) = 1 - 2 - 20 = -21. |
|||||||||||||||||||||||||
Значение |
функции |
в этой |
точке |
Найдем |
||||||||||||||||||||||
значения |
функции |
на концах |
отрезка |
AB : |
z(B) = z(4; 4) = |
|||||||||||||||||||||
= 42 - 2 × 4 - 20 = -12 , z( A) – |
вычислено ранее. |
|||||||||||||||||||||||||
На отрезке OB |
y = x , |
z = 4x 2 - 20x + 4 , x [0; 4]. z x' |
= 8x - 20 , |
|||||||||||||||||||||||
x = |
20 |
= |
5 |
[0; 4] |
– |
критическая |
точка. Значения |
функции |
в этой |
|||||||||||||||||
8 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||
5 |
5 |
25 |
5 |
|||||||||||||||||||||||
точке z |
; |
= 4 |
× |
- 20 × |
+ 4 = -21. Значения функции на концах |
|||||||||||||||||||||
2 |
2 |
4 |
2 |
|||||||||||||||||||||||
отрезка OB : z(O) и z(B) – вычислены ранее.
Из полученных |
значений функции выбираем наименьшее |
m = −24 и наибольшее M = 4 . |
|
Точка P1 (1; 3) – |
точка глобального минимума, P2 (0; 0) – точка |
глобального максимума данной в условии функции в заданной области D .
16