Файл: высшая математика ч3.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 18.05.2025

Просмотров: 476

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

9.2.4. Условный экстремум

Условным экстремумом функции z = f (x; y) называется

экстремум этой функции, достигнутый при условии, что переменные x и y связаны уравнением ϕ(x; y) = 0 (уравнение связи).

1. Если уравнение связи можно однозначно разрешить

относительно переменной

y

(или x ), т. е. выразить y как функцию

x :

y = ψ(x) , то, подставив

в аналитическое

выражение

функции

z = f (x; y) вместо y

функцию y = ψ(x) ,

получим

функцию

z =

f (x; ψ(x)) одной переменной x . Исследуем ее на экстремум. Тем

самым решится вопрос об условном экстремуме функции z = f (x; y) ,

так как условие связи ϕ(x; y) = 0 будет уже учтено.

2. Чтобы найти условный экстремум функции z =

f (x; y) при

наличии уравнения связи ϕ(x; y) = 0

составляют функцию Лагранжа

F (x; y) = f (x; y) + λϕ(x; y) , где λ –

неопределенный

постоянный

множитель, и исследуют ее на экстремум. Необходимое условие экстремума

вид

¶F

=

¶f

+ l

¶j

= 0,

¶x

¶x

¶x

¶F

=

¶f

+ l

¶j

= 0,

¶y

¶y

¶y

j(x; y) = 0.

функции u = F (x; y) имеет

(9.3)

Из этой системы трех уравнений находятся неизвестные x , y ,

λ , тем самым находятся стационарные точки.

Вопрос о существовании и характере условного экстремума решается на основании исследования знака второго дифференциала

функции Лагранжа d 2 F (x; y) = ¶2 F d 2 x + 2

¶2 F

dxdy + ¶2 F d 2 y

для

найденных значений x , y , λ

¶2 x

¶x¶y

¶2 y

из системы (9.3) при условии, что dx и

dy связаны уравнением ∂ϕ dx + ∂ϕ dy = 0 ( dx 2 + dy 2 ¹ 0 ).

¶x

¶y

А именно, функция z =

f (x; y) имеет условный максимум, если

d 2 F < 0 , и условный минимум, если

d 2 F > 0 .

В частности,

если

17

дискриминант для функции u = F (x; y) в стационарной точке

положителен, то в этой точке имеется условный максимум функции z = f (x; y) при A < 0 (или C < 0 ) и условный минимум при A > 0

(или C > 0 ).

Пример 1А. Найти экстремум функции z = e2 xy при условии, что x и y связаны соотношением x + y = 2 .

Решение. Из уравнения связи x + y = 2 выразим y = 2 − x и

подставим в выражение для функции z :

z = e2 x(2−x)

или z = e4 x−2 x2 .

Получим функцию одной переменной x .

Исследуем ее на экстремум.

Найдем z'= e4 x−2 x2

(4 − 4x) . z' = 0 при

4 − 4x = 0 ,

следовательно,

x = 1 – критическая точка.

Знак z'

+

–

z(x)

max

x

В точке

x = 1 функция z(x)

имеет максимум. А тогда данная

функция z = e2 xy имеет в точке (1;1) условный максимум. Значение функции zmax (1;1) = e 2 .

Пример 2Б. Найти экстремум функции z = x + 2 y при условии,

что x и y связаны соотношением x 2 + y 2 = 5 .

Решение. Геометрически задача сводится к нахождению

наибольшего

и

наименьшего

значений аппликаты

z плоскости

z = x + 2 y для точек пересечения ее с цилиндром x 2 + y 2

= 5 .

Составляем функцию Лагранжа

F (x; y) = x + 2 y + λ(x 2 + y 2 − 5) .

Имеем

∂F = 1 + 2λx , ∂F = 2 + 2λy . Система (9.3) имеет вид

∂x

∂y

1 + 2λx = 0,

+ 2λy

= 0,

2

2

+ y

2

− 5 = 0.

x

Решив

систему, получим

при

λ = −

1

стационарную точку

1

2

функции F (x; y) ,

M1 (1; 2) , при λ =

– стационарную точку функции

2

18

F (x; y) ,

M 2 (−1; − 2) . Найдем

∂ 2 F = 2λ ,

∂ 2 F

= 0 ,

∂ 2 F = 2λ

и

∂ 2 x

∂x∂y

∂ 2 y

составим

для функции F (x; y)

дискриминант

,

учитывая,

что

A = ∂ 2 F

= −1, B = 0 ,

C =

∂ 2 F

= −1,

=

− 1

0

= 1

–

∂ 2 x

M1

∂ 2 y

M1

0 − 1

экстремум есть и, так как

A < 0 , то

M1 (1; 2) –

точка

условного

максимума для функции z = x + 2 y .

Аналогично проверяется, что точка M 2 (−1; − 2) является точкой условного минимума.

zmax (1; 2) = 1 + 4 = 5 , zmin (−1; − 2) = −1 − 4 = −5 .

9.2.5. Метод наименьших квадратов

При исследовании физических, химических и других процессов приходится находить аналитическое выражение зависимости между различными величинами на основе экспериментальных данных. Функции, полученные в результате решения такого рода задач,

называются эмпирическими или аппроксимирующими.

Пусть известны результаты измерений (xi ; yi ) , i = 1, n , величины y при различных значениях величины x , представленные в виде таблицы

x

x1

x2

x3

…

xi

…

xn

y

y1

y2

y3

…

yi

…

yn

или в виде точечной диаграммы (рис. 9.3).

Требуется

по

таблице

y

значений

(xi ; yi )

подобрать

эмпирическую функцию y = ϕ(x) ,

yi

удовлетворяющую

условиям

yi = ϕ(xi ) , i =

.

1, n

0

xi

x

Рис. 9.3

При

подборе аппроксимирующей

функции

y = ϕ(x)

следует

учитывать характер расположения экспериментальных точек (xi ; yi ) ,

19

i = 1, n , на точечной диаграмме.

Если точки (xi ; yi ) , i = 1, n располагаются на точечной

диаграмме вдоль прямой, то рекомендуется выбирать линейную функцию y = ax + b , зависящую от двух параметров a и b , которые

можно найти с использованием метода наименьших квадратов. Метод наименьших квадратов состоит в том, что параметры a и

b выбранной зависимости y = ax + b находятся из условия минимума суммы квадратов отклонений значений yi , i = 1, n , полученных в результате эксперимента, от ординат аппроксимирующей функции y = ax + b :

n

− axi − b)2 .

S = S (a;b) = ∑ ( yi

i=1

Для нахождения минимума функции S = S (a;b) , являющейся

функцией двух переменных a и b , необходимо приравнять нулю частные производные этой функции по a и b :

n

− axi

− b)(−xi )) = 0,

S

'

= 0,

∑ (2( yi

a'

= 0,

i=n1

− axi

Sb

∑ (2( yi

− b)(−1)) = 0.

i=1

После преобразований получаем систему

n

n

nb + a∑ xi = ∑ yi ,

i=1

i=1

(9.4)

n

n

n

b∑ xi

+ a∑ xi2 = ∑ xi yi ,

i=1

i=1

i=1

решением которой являются искомые параметры a и b .

Пример 1А. Экспериментально получены шесть значений

искомой функции y =

f (x) при шести значениях аргумента, которые

записаны в таблице. Методом наименьших квадратов найти функцию y = f (x) в виде y = ax + b .

x

1

2

4

5

6

8

y

–4,3

–1

5

8,5

12

18

6

Решение. Находим ∑ xi

=1 + 2 + 4 + 5 + 6 + 8 = 26 ,

i=1

20

Смотрите также файлы