Файл: высшая математика ч3.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 18.05.2025

Просмотров: 479

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

дифференциала, считается постоянной. Затем вычисляется внешний интеграл. Каждый из них вычисляется по формуле Ньютона– Лейбница как определенный интеграл.

Области, не представимые в описанном выше виде, следует разбить на конечное число таких областей при помощи прямых, параллельных координатным осям.

10.1.3. Примеры решения задач

1 x2

Пример 1А. Вычислить повторный интеграл∫ dx ∫ xydy .

0 0

Решение. Сначала вычислим внутренний интеграл по формуле Ньютона– Лейбница. Его результат будет подынтегральной функцией для внешнего интеграла.

2

1 x

2

1 x

2

x

2

1

x

1

y

2

∫ dx ∫ xydy = ∫

∫ xydy

dx =

∫ x

∫ ydy dx = ∫ x

dx =

0

0

0 0

0 0

0

2

0

1

4

1

x

5

1

1

5

1 x

6

1

1

x

= ∫ x

- 0

dx = ∫

dx

=

∫ x

dx =

=

.

2

2

2

2 6

0

0

0

0

12

2

y

Пример 2А. Вычислить повторный интеграл ∫ dy∫ (x 2 + 2 y)dx .

0

0

2

y

2 y

Решение.

∫ dy∫ (x

2

+

2 y)dx = ∫

∫ (x

2

+

2 y)dx dy =

0

0

0

0

2

x

3

y

2

3

2

1

2

3

2

2

= ∫

dy = ∫

y

∫

dy + 2∫ y

+

2 y

y

dy

=

3

+ 2 yx

- 0 dy =

3

0

0

0

3

0

0

y 4

2 +

2 y 3

2

=

1

=

1

×16 +

2

×8 =

20

.

4

3

3

0

0

12

3

3

∫∫(x + y)dxdy , где

Пример 3А. Вычислить двойной интеграл

D

область

D

–

параболический

сегмент,

ограниченный

параболой

y = x 2

и прямой y = x .

30

Решение. Сведем двойной интеграл к повторному. Изобразим

область интегрирования (рис. 10.5).

Область

D

можно

задать

в

виде

системы

неравенств

≤ x ≤ 1,

0

Тогда, используя формулу (10.3), можно записать

x

2

≤ y ≤ x.

1

x

1

y

2

x

1

2

x

2

∫∫(x + y)dxdy = ∫ dx ∫ (x + y)dy =

∫

+

dx

= ∫

+

−

xy

2

x

2

D

0

x 2

0

x 2

0

1

3

x

4

1

3

2

3

x

4

3 x

3

x

4

1 x

5

3

− x

+

2

dx

= ∫

2

x

− x

−

2

dx =

2 3

−

4

−

2 5

=

.

0

0

20

Пример 4А. Изменить порядок интегрирования в повторном

1

x2

интеграле ∫ dx ∫ f (x; y)dy .

0

x3

Решение. По пределам интегрирования построим область D :

0 ≤ x ≤ 1,

x3 ≤ y ≤ x 2 . Строим кривые

y = x 2 ,

y = x3 , прямые x = 0 ,

x = 1 (рис. 10.6).

Область

D

можно

задать

в

виде

системы

неравенств

0 ≤ y ≤ 1,

x2

1

1

3

y

∫ dx ∫ f (x; y)dy = ∫ dy ∫ f (x; y)dx .

По формуле (10.4)

y

≤ x( y) ≤ 3 y.

0

x3

0

y

y

y = x2

y = x

y

y = x 2

1

1

y = x3

0

1

x

0

1

x

Рис. 10.5

Рис. 10.6

Пример 5А. Вычислить двойной интеграл

∫∫ dxdy ,

где D –

область, ограниченная линиями y = x 2 ,

D

y + x = 2 ,

y = 0 .

Решение. Построим область интегрирования D (рис. 10.7).

31

1) Если проводить вертикальные прямые через внутренние точки области D , то точки «входа» M1 и M 2 принадлежат одной линии, а

точки «выхода» двум линиям, поэтому для вычисления двойного интеграла область D нужно разбить на две области D1 и D2 и

исходный

интеграл

будет

равен

сумме

двух

интегралов:

∫∫ dxdy = ∫∫ dxdy + ∫∫ dxdy .

D

D1

D2

y = x2

y

1

N 2

N1

D1

D2

y + x = 2

0

M1

1

M 2 2

x

Рис. 10.7

Область D1 с помощью системы неравенств можно задать

следующим

образом:

0 ≤ x ≤ 1,

0 ≤ y ≤ x2 . Область

D2 :

1 ≤ x ≤ 2 ,

0 ≤ y ≤ 2 − x . Поэтому двойной интеграл по области

D будет равен

сумме двух повторных интегралов

1

x2

2

2−x

x

3

1

x

2

2

5

∫∫ dxdy = ∫∫ dxdy + ∫∫ dxdy = ∫ dx ∫ dy + ∫ dx ∫ dy =

2x −

=

.

3

+

2

D

D

D

0

0

1

0

0

1

6

1

2

2) если проводить горизонтальные прямые, то область

D можно

записать

с

помощью одной

системы

неравенств

0 ≤ y ≤ 1,

y ≤ x ≤ 2 − y , и тогда по формуле (10.4)

1

2− y

1

2− y

1

∫∫ dxdy = ∫ dy ∫ dx = ∫

x

dy = ∫

(2 − y − y )dy =

D

0

0

y

0

y

y

2

2 y

3 / 2

1

3

−

2

=

5

=

2 y −

−

=

.

2

3

2

3

6

0

Таким образом, при вычислении двойного интеграла следует выбирать порядок интегрирования.

32

10.1.4. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах

Пусть в полярных координатах (ϕ; r)

область D задана в виде

системы неравенств

α ≤ ϕ ≤ β,

r (ϕ) ≤ r ≤ r (ϕ).

1

2

Ni

r = r2 (ϕ)

r = r1 (ϕ)

M i

β

α

p

0

Рис. 10.8

Формула замены переменных в двойном интеграле при переходе

к полярным координатам имеет вид

∫∫ f (x; y)dxdy = ∫∫ f (r cos ϕ ; r sin ϕ)rdrdϕ =

D

D

β

r2 (ϕ)

(10.5)

= ∫ dϕ

∫ f (r cos ϕ ; r sin ϕ)rdr.

αr1 (ϕ)

Замечание. Между декартовыми координатами (x; y) точки M и ее полярными координатами (ϕ; r) существует связь (рис. 10.9). Пусть полярная ось p совпадает с положительной полуосью Ox , а

полюс полярной системы координат O совпадает с началом координат системы Oxy .

Из рис. 10.9 видно, что прямоугольные координаты x , y точки M выражаются через полярные координаты r , ϕ точки следующим

образом:

x = r cos ϕ,

y = r sin ϕ .

Отметим также, что dxdy = rdrdϕ .

К полярным координатам особенно удобно переходить в тех случаях, когда область интегрирования круг или часть круга. Переход

33

к повторному интегралу (расстановка пределов) выполняется аналогично случаю прямоугольных координат.

Пример.

Вычислить ∫∫

x2 + y 2 dxdy ,

переходя к

полярным

D

координатам, если D –

первая четверть круга x2 + y 2 ≤ a2 .

Решение. Область D представлена на рис. 10.10.

Используем формулу (10.5) перехода к полярным координатам.

∫∫

dxdy =∫∫

rdϕdr = ∫∫r 2dϕdr =

x2 + y 2

r 2 cos2 ϕ + r 2 sin 2 ϕ

D

D

D

π / 2

a

π / 2

3

a

π / 2

3

3

πa

3

=

∫

dϕ∫ r

2

dr =

∫

r

dϕ = ∫

a

dϕ =

a

ϕ

π / 2

=

.

3

3

3

0

6

0

0

0

0

0

y

y

M

y

x2 + y 2 = a2

a

r

r = a

ϕ

p

ϕ

p

0

a

0

x

x

x

Рис. 10.9

Рис. 10.10

10.1.5. Задачи для самостоятельного решения

А

2

ln y

a

x

1. Вычислить повторные интегралы: а)

∫ dx ∫ dy ; б) ∫ dy ∫ e x dx .

0

0

1

0

2.

Вычислить

∫∫

x2

dxdy , где D

–

прямоугольник

0 ≤ x ≤ 2 ,

1

+ y 2

0 ≤ y ≤ 1.

D

∫∫ (x3 + y 3 )dxdy ,

3.

Вычислить

где

D

–

область, ограниченная

D

линиями x − 2 y = 0 , x − y = 0 , x = 4 .

4. Вычислить ∫∫ ydxdy , где D – область, ограниченная линиями x = 0 ,

D

y = x , x + y = 2 .

34

Смотрите также файлы