телю Qm (x), в результате получим тождество
Для нахождения неопределенных коэффициентов A1, A2, ..., Lδ в равенстве (3.3) можно применить метод неопределенных коэффициентов (метод сравнения коэффициентов). Суть метода:
1. В правой части равенства (3.3) приведем к общему знамена-
Pn ((x))= S ((x)), где Qm x Qm x
S (x) – многочлен с неопределенными коэффициентами.
2. Так как в полученном тождестве знаменатели равны, то равны (тождественно) и числители:
3. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих частях тождества (3.4), получим систему линейных алгебраических уравнений, из которой определяются искомые коэффи-
циенты A1, A2, ..., Lδ.
Схема разложения правильной рациональной дроби на простейшие методом неопределенных коэффициентов представлена в табл. 3.1.
Таблица 3.1
Схема разложения правильной рациональной дроби на простейшие. Метод неопределенных коэффициентов
Этапы |
|
|
|
|
|
Пример для дроби |
|
|
|
x2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x −1)2 (x2 |
+ 2x + 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Знаменатель |
уже |
|
|
|
|
x2 |
+1 |
= |
A |
+ |
B |
|
|
+ |
|
|
Cx + D |
разложен на множи- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x −1) |
2 |
(x |
2 |
+ 2x + 3) |
x −1 |
(x −1) |
2 |
|
x |
2 |
+ 2x |
+ 3 |
тели, поэтому запи- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
шем теоретическое |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
разложение |
дроби |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на простейшие |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Правую часть по- |
|
|
|
|
x |
2 |
+1 |
|
A(x −1)(x |
2 |
+ 2x + 3) |
|
|
|
|
лучившегося равен- |
|
|
|
|
|
= |
|
+ |
|
|
|
|
(x −1)2 (x2 + 2x + 3) |
(x −1)2 (x2 |
|
|
|
|
ства приведем к об- |
|
|
+ 2x + 3) |
|
|
|
щему знаменателю |
+ B (x2 |
+ 2x + 3)+ (Cx + D)(x −1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x −1)2 (x2 + 2x + 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Окончание табл. 3.1
Этапы |
|
|
|
|
|
Пример для дроби |
|
|
|
|
|
|
x2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x −1)2 (x2 |
+ 2x + 3) |
|
|
|
|
3. Приравняем |
числи- |
|
x2 +1 = A(x −1)(x2 + 2x +3)+ B (x2 + 2x +3)+ |
|
|
|
|
|
тели получившихся дро- |
+(Cx + D)(x −1)2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
бей с одинаковыми зна- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
менателями, раскроем |
|
x2 +1 = A(x3 + x2 + x −3)+ B (x2 + 2x +3)+ |
|
|
|
|
|
|
|
скобки и приведем по- |
+ C |
( |
x3 −2x2 + x |
) |
+ D |
( |
x2 |
−2x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
добные члены |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Приравнивая |
коэф- |
|
x3 |
|
|
|
0 = A + C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
фициенты при |
одина- |
|
x2 |
|
1 = A + B − 2C + D |
|
|
|
3A + 2D =1 |
|
|
|
|
|
|
|
ковых степенях x, по- |
|
x |
0 = A + 2B + C − 2D |
|
|
|
|
B = D |
|
|
|
|
|
|
|
лучаем систему |
урав- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нений для нахождения |
|
x0 |
|
1 = −3A + 3B + D |
|
|
−3A + 4D =1 |
|
|
|
|
|
неопределенных |
коэф- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
B = 1 |
|
и |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
фициентов A, B, C, D. |
|
D = |
|
|
|
|
|
A = |
|
C = − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решаем эту систему |
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Запишем разложение |
|
|
|
|
|
x2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
+ − |
1 |
x |
+ |
1 |
|
|
данной дроби на про- |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
3 |
|
9 |
3 |
|
стейшие |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x −1)2 (x2 + 2x +3) |
|
|
|
x |
−1 |
|
(x |
−1)2 |
|
x2 |
+ 2x +3 |
Для нахождения неопределенных коэффициентов A1, A2, ..., Lδ в равенстве (3.3) применяют также метод частных значений аргумента: после получения тождества (3.4) аргументу x придают конкретные значения столько раз, сколько неопределенных коэффициентов в формуле (обычно полагают вместо x значения действительных корней многочлена Qm (x)). Схема разложения правильной рациональной дроби на простейшие методом частных значений приведена в табл. 3.2.
Таблица 3.2
Схема разложения правильной рациональной дроби на простейшие. Метод частных значений
Этапы |
|
|
Пример для дроби |
|
|
x2 |
+ x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
x3 − x2 − 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Знаменатель дроби раз- |
|
x3 − x2 |
− 2x = x (x2 − x − 2) |
= x (x − 2)(x +1) |
ложим на неприводимые |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
множители |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Запишем соответствующее |
|
x2 + x −1 |
= |
x2 + x −1 |
|
|
= |
A |
+ |
B |
+ |
C |
разложение этой правильной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 − x2 |
− 2x |
x(x − 2)(x +1) |
x |
x − 2 |
x +1 |
дроби на простейшие |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Окончание табл. 3.2
|
|
|
|
|
|
|
Этапы |
Пример для дроби |
x2 |
+ x −1 |
|
x3 |
− x2 − 2x |
|
|
|
3. Правую часть |
получив- |
x |
|
+ x −1 |
|
|
( |
|
)( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
( |
) |
|
|
2 |
|
|
= |
A x −2 x +1 + Bx x +1 +Cx x −2 |
|
|
шегося равенства приведем |
|
|
|
|
|
|
x3 − x2 −2x |
|
|
|
|
x(x −2)(x +1) |
|
|
|
к общему знаменателю |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Приравняем |
|
числители |
x2 + x −1 = A(x −2)(x +1)+ Bx(x +1)+Cx(x −2) |
получившихся дробей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Для определения коэф- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 0 |
|
|
|
−1 = A(−2) |
|
A = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
фициентов A, B, C придаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
неизвестной x частные зна- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
чения, например значения, |
x = 2 |
|
4 + 2 −1 = B 2 |
3 |
|
B = |
|
|
|
|
|
|
совпадающие |
с |
действи- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
тельными корнями знаме- |
x = −1 |
1−1−1 = C (−1)(−3) |
C = − |
1 |
|
|
|
|
нателя дроби |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Запишем |
разложение |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
5 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
данной дроби на простей- |
x |
2 |
+ x −1 |
= |
|
− |
+ |
− |
− |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
6 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
шие |
|
|
x3 − x2 −2x |
|
|
x |
|
x −2 |
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула (3) справедлива для любого конечного числа линейных и квадратичных множителей, входящих в разложение знаменателя правильной дроби, и называется разложением правильной
рациональной дроби Pn ((x)) на сумму простейших дробей с веще-
Qm x
ственными коэффициентами.
Алгоритм интегрирования рациональной функции
1.Представляем рациональную функцию в виде суммы многочлена и правильной рациональной функции (если она неправильная). Для этого числитель делим на знаменатель (например, «уголком»).
2.Раскладываем знаменатель полученной правильной рациональной функции на неприводимые множители (линейные и квадратичные, не имеющие действительных корней).
3.Записываем теоретическое разложение полученной правильной рациональной функции на простейшие.
4.Находим неопределенные коэффициенты.
5. Интегрируем рациональную функцию, представленную в виде суммы многочлена и простейших рациональных функций, по стандартным правилам интегрирования.
Пример 1. Найти ∫ 2x +3 dx .
(x − 2)(x +5)
Решение. Подынтегральная дробь правильная. Записываем теоретическое разложение подынтегральной дроби на простейшие:
2x + 3 |
= |
A |
|
+ |
B |
= |
A(x − 2)+ B(x + 5) |
. |
(x + 5)(x − 2) |
x + |
5 |
x − 2 |
|
|
|
|
(x + 5)(x − 2) |
Приравниваем числители: 2x + 3 = A(x − 2)+ B(x + 5). Придавая x частные значения, равные корням знаменателя, получаем:
x = −5 |
|
−7 = A (−7), |
|
A =1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 2 |
|
7 = 7B , |
|
|
|
|
B =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, |
|
|
2x + 3 |
|
|
|
= |
|
1 |
|
+ |
|
1 |
|
|
|
. Имеем: |
|
|
(x − 2)(x +5) |
x + 5 |
x − 2 |
|
|
|
|
2x +3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
dx |
= |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
= ln |
x − 2 |
+ |
∫(x − 2)(x + |
5) |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
∫x − |
|
|
|
∫x + |
|
|
|
|
x +5 |
|
x |
− 2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ln |
|
x + 5 |
|
+ C = ln |
|
(x − 2)(x + 5) |
|
+ C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2. Найти ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
(x |
2 |
− 4x + 4)(x |
2 |
− 4x + 5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Подынтегральная дробь правильная, раскладываем ее на простейшие:
1 |
= |
A |
+ |
B |
+ |
Cx + D . |
(x − 2)2 (x2 − 4x + 5) |
x − 2 |
(x − 2)2 |
x2 − 4x + 5 |
|
Приравниваем числители:
1 = A(x − 2)(x2 − 4x + 5)+ B(x2 − 4x + 5)+ (Cx + D)(x − 2)2
или
1 = A(x3 − 6x2 +13x −10)+ B(x2 − 4x + 5)+ C (x3 − 4x2 + 4x)+ +D(x2 − 4x + 4).
Так как знаменатель дроби имеет один действительный корень x = 2, то находим B:
1 = B(4 −8 + 5) B =1 .
Для нахождения остальных коэффициентов воспользуемся методом неопределенных коэффициентов:
