Файл: Марченко_Высшая математика.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 18.05.2025

Просмотров: 1577

Скачиваний: 21

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

x2

0 = −6A + B − 4C + D

x

0 =13A − 4B + 4C − 4D 0 = −11A −12C = 0

,

A = 0

x0

1 = −10A + 5B + 4D

1 = 3A + B + 4C

и

.

C = 0

D = −1

Разложение дроби на простейшие имеет вид

1

=

1

−

1

.

(x − 2)2 (x2 − 4x +5)

(x − 2)2

x2 − 4x +5

Интегрируем:

∫

dx

1

1

=

−

dx =

(x

2

−

4x + 4)(x

2

− 4x

+5)

(x −

2)

2

x

2

− 4x + 5

∫

=

∫

(x − 2)−2

d (x − 2)

−

∫

d (x + 2)

=

(x + 2)2 +

x2 +4 x+5=x2 +2 2 x+4+1=(x+2)2 +1

1

= −

1

−arctg (x + 2)+C .

x − 2

Метод рационализации: интегрирование функций, рацио-

нально зависящих от тригонометрических

Рациональной функцией R(u; v)

двух переменных u и v на-

зывается отношение

P(u; v)

многочленов P(u; v)

и Q(u; v) двух

Q(u; v)

переменных u и v .

Согласно методу рационализации, ищется подходящая замена переменных, которая приводит рассматриваемый интеграл к интегралу от рациональных функций. О таких заменах говорят, что они рационализуют интеграл.

Рассмотрим интеграл ∫R(sin x; cos x)dx . Он рационализуется

с помощью так называемой универсальной тригонометрической

подстановки

t = tg 2x .

Тогда sin x =

2t

, cos x =

1 −t2

, dx =

2dt

.

1

+t2

1

+t2

1+t2

124

Таким образом,

∫

R

(sin x; cos x)dx =

R

2t

;

1 − t

2

2

dt =

∫

R

(t )dt ,

2

2

2

tg

x

=t ∫

1

+ t

1 + t

1 + t

2

где R(t ) – рациональная функция переменной t .

С помощью указанного приема удобно находить интегралы

вида ∫

dx

.

acos x +bsin x

+ c

dx

Пример 1. Найти интеграл ∫

.

4

+ cos x + 4sin x

Решение. Используя универсальную тригонометрическую

подстановку tg

x

= t,

при этом sin x =

2t

,

cos x

= 1 −t2 , dx =

2dt

,

1 +t2

получаем:

2

1 +t2

1+t2

2dt

dx

2dt

∫

= ∫

1 +t2

= ∫

=

4 + cos x + 4sin x

4 +

1

−t2

+

4 2t

4

+ 4t2 +1 −t2 +8t

1

+t2

1 + t2

2dt

2

dt

2

8

5

4 2

1

=

=

=

t

+

t +

= t

+

−

=

∫

3t

2

+8t +

5

3

∫

2

8

5

3

3

9

3

t

+ 3 t

+

3

4

1

x

2

dt

2 1

t +

−

t +1

tg

+1

∫

ln

3

3

+C =ln

+C =ln

2

+C.

=

= 3

3

4 2

1

2

1

t +

4

+

1

t +

5

tg

x

+

5

t +

−

3

3

3

3

2

3

3

9

Метод

интегрирования

функций R(sin x; cos x)

с

помощью

универсальной подстановки

u = tg

x

всегда приводит к интегри-

2

рованию рациональной функции, но именно в силу своей общности он часто является не наилучшим.

На практике применяют и другие, более эффективные в конкретных случаях подстановки. В частности,

1)если функция R(sin x; cos x) нечетна относительна sin x , т. е. R(−u; v)=−R(u; v), топодстановка cos x =t рационализируетинтеграл;

2)если функция R(sin x; cos x) нечетна относительна cos x , т. е. R(u; −v)=−R(u; v), топодстановка sin x =t рационализируетинтеграл;

125

3) если функция R(sin x; cos x) удовлетворяет свойству R(−u; − v) = R(u; v), то применима подстановка tgx = t , при этом

sin x =

t

, cos x =

1

, dx =

dt

;

+t2

+t2

1

+t2

1

1

такаяжеподстановкаприменяется, еслиинтегралимеетвид ∫R(tgx)dx.

Пример 2. Найти интеграл ∫

dx

.

4 + cos2 x

Решение. Поскольку подынтегральная функция не меняется

при замене cos x на

(

−cos x), то используем подстановку tg x = t ,

при этом cos2 x =

1

,

dx =

dt

, тогда

1 + t2

1 + t2

∫

dx

= ∫

dt

= ∫

dt

= ∫

dt

= ∫

dt

=

4

+

cos

2

x

1

4

+

4t

2

+

1

4t

2 +

5

(2t)

2

(1+t2 )

4 +

+5

1+t

2

1

d(2t)

1

2t

1

2tgx

+C .

=

2 ∫

=

arctg

+C =

arctg

(2t )2 +(

5 )2

2

5

5

2

5

5

Пример 3. Найти ∫tg3 xdx .

Решение. ∫tg3 xdx =

tgx = t, x = arctgt

= ∫

t3dt

– подынтеграль-

dt

dx =

1 + t2

1

+t2

ная функция представляет собой неправильную дробь. Поэтому разделим числитель на знаменатель:

_ t3

t2 +1

t3

= t −

t

.

t3 +t

t

t2 +1

t2

+1

−t

Тогда

d (t2

+1)

t3

t

tdt

t2

1

1

2

dt =

t

−

dt

=

tdt −

=

−

=

t

−

∫t

2

+1

∫

t

2

+1

∫

∫t

2

+

1

2

2

∫

t

2

+1

2

1

ln (t

2

+1)+C =

1

2

1

ln (tg

2

x +1)

2

1

−

tg

x −

+ C = tg

x

+1 =

=

2

2

2

cos

2

x

=

1 tg2 x −

1 ln

1

+C =

1 tg2 x + ln

cos x

+C .

cos2

x

2

2

2

126

Для нахождения интегралов вида ∫sinm x cosn xdx , где m и n – целые числа, используются следующие приемы:

1)подстановка sin x = t , если n – нечетное число;

2)подстановка cos x = t , если m – нечетное число;

3)

формулы понижения

порядка:

sin2 x = 1 (1 − cos 2x)

,

2

, еслиm иn – четные числа;

cos2 x = 1 (1 + cos 2x)

,

sin xcos x =

1 sin 2x

2

2

4)

подстановка

, если m + n –

четное отрицательное

tgx =t

число.

Пример 4. Найти ∫sin5 xdx .

Решение. Подынтегральная функция нечетна относительно sin x , поэтому применяем подстановку cos x = t , тогда sin xdx = −dt

и ∫sin5 xdx = ∫sin4 xsin xdx = ∫(sin2 x)2 sin xdx = ∫(1 − cos2 x)2 sin xdx =

= −∫(1 − t2 )2 dt = −∫

(1 − 2t2 + t4 )dt = −t +

2 t3 −

1 t5

+ C =

2 cos3

1 cos5 x +C.

3

5

= −cos x +

x −

3

5

Пример 5. Найти ∫cos4 xsin4 xdx .

Решение. Под

интегралом

стоит

произведение

четных

сте-

sin x и

cos x . Тогда

4

4

1

4

1

4

пеней

sin

xcos

x =

sin 2x

=

sin

2x

и

2

16

1

1

∫cos4 xsin4 xdx =

∫sin4 2xdx =

∫(sin2 2x)2

dx =

16

2

16

1

1

1

1

=

(1 − cos 4x)

dx =

x

−

2

∫

cos 4xdx

+

∫

(1

+ cos8x)dx

=

16

2

64

2

∫

1

2

1

1

1

3

1

1

=

x

−

sin 4x

+

x +

sin8x

+ C

=

x −

sin 4x +

sin8x

+ C =

64

4

2

16

64

2

2

16

=

1

3x − sin 4x +

1 sin8x

+ C .

128

8

При нахождении интегралов ∫sin(kx)cos(lx)dx, ∫cos(kx)cos(lx)dx, ∫sin (kx)sin (lx)dx используют формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму

127

sin αcosβ = 12 (sin (α −β)+ sin (α + β)), cos αcosβ = 12 (cos(α −β)+ cos(α + β)), sin αsin β = 12 (cos(α −β)− cos(α + β)).

Пример 6. Найти ∫sin 5xcos3xdx .

Решение. ∫sin 5xcos3xdx = 12 ∫(sin 2x + sin8x)dx = 12 (∫sin 2xdx +

+∫sin8xdx)=

1

1

1

1

1

−

cos 2x −

cos8x

+ C = −

cos 2x −

cos8x + C .

2

2

8

4

16

Метод рационализации: интегрирование простейших иррациональностей

ax + b n1

ax + b nk

m1

mk

1. Интегралы типа

∫

R x;

; ...;

dx , где

cx + d

cx + d

m1 , ..., mk – целые; n1, ..., nk – натуральные; a, b, c, d

– действи-

тельные числа, причем c2 + d 2 ≠ 0 ,

сводятся к интегралам от ра-

циональной функции путем подстановки (заменой переменной):

ax +b

=tν .

Тогда

cx + d

x = dtν −b

и dx =

ad −bc

ν tν−1dt ,

(a −ctν )2

a −ctν

где ν = НОК{n1

, ..., nk } – наименьшее общее кратное знаменате-

лей дробей

m1

,

...,

mk

.

n

n

1

k

x; ...; m x )dx , где подын-

В частности, интегралы вида ∫R(x; k

тегральная

функция R(x; k x; ...;

m x ) –

рациональная функция

своих аргументов, рационализуются заменой переменной x =tν, dx = νtν−1dt ,

где ν = НОК{k, ..., m} .

128

Смотрите также файлы