Файл: Марченко_Высшая математика.pdf

Сделать презентацию

Скачать файл (4,36Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 18.05.2025

Просмотров: 1584

Скачиваний: 21

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

=8 arcsin

sin 2 arcsin

+C ,

откуда,

используя формулу

sin (2arcsin a)= 2sin (arcsin a)cos(arcsin a)= 2a

1 − a2 ,

при

a =

получаем окончательный ответ:

∫ 16 − x

+C.

dx =8 arcsin

1−

+C =8 arcsin

16 − x

Интегрирование по частям в неопределенном интеграле

Метод интегрирования по частям основывается на формуле дифференцирования произведения двух функций.

Теорема. Пусть на промежутке X функции u (x) и v(x) не-

прерывно дифференцируемы. Тогда интегралы		∫v(x)u′(x)dx и
∫u (x)v′(x)dx существуют на X и
∫u (x)v′(x)dx = u (x)v(x)− ∫v(x)u′(x)dx .			(3.1)
Так как u′(x)dx = du, v′(x)dx = dv , то (3.1)		можно	записать
в виде
	∫u dv = u v − ∫v du.		(3.2)

Это равенство называется формулой интегрирования по частям в неопределенном интеграле.

Практическое применение интегрирования по частям заключается в том, что подынтегральное выражение f (x)dx представ-

ляется некоторым образом в виде произведения двух множителей u и dv (последний обязательно содержит dx ) и заменяется двумя интегрированиями: 1) при отыскании v из выражения dv ; 2) при нахождении интеграла от v du .

Метод интегрирования по частям удобно применять для вычисления интегралов следующих стандартных типов:

1) ∫Pn (x)emx dx, ∫Pn (x)amx dx, ∫Pn (x)cos(mx)dx, ∫Pn (x)sin (mx)dx,

где m R, Pn (x) – многочлен степени n относительно переменной x (в качестве u берем многочлен u = Pn (x));

115

2)∫Pn (x)ln (mx)dx , ∫Pn (x)arccos(mx)dx , ∫Pn (x)arcsin (mx)dx ,

∫Pn (x)arctg (mx)dx , ∫Pn (x)arcctg (mx)dx (здесь dv = Pn (x)dx);

3) ∫emx cos(αx)dx , ∫emx sin (αx)dx ,	где α	(дважды интег-
рируем по частям, полагая u = emx ;	повторное	интегрирование

по частям приводит к линейному уравнению, содержащему ис-

ходный интеграл, решая которое, находим интеграл).

Иногда для получения результата нужно последовательно не-

сколько раз применить интегрирование по частям.

Пример. Вычислить неопределенные интегралы методом ин-

тегрирования по частям:

1) ∫(

2x +5)cos

dx ;

2) ∫x2e−5 xdx ;

3) ∫arctg3xdx .

Решение.

1) ∫(

2x +5)cos

dx =

u = 2x +5

du = 2dx

v = ∫cos

dv = cos

dx =

3sin

= 3(2x + 5)sin

− ∫3sin

2dx = 3(2x + 5)sin

− 6∫sin

dx =

= 3(2x + 5)sin

+18cos

+ C ;

2) ∫x2e−5 x dx =

u = x2 ,

du = 2xdx

dv = e−5 x dx,

v = ∫e−5 x dx = −1 e−5 x

= −x2 1 e−5 x

+ ∫

1 e−5 x 2xdx = −1 x2e−5 x +

∫xe−5 xdx =

u = x,

du =dx

=−

1 x2e−5x +

−5x

dx =−

−5x

dv =e

dx, v =∫e

−5 x

−x

∫5

= −

−

+ C

= −125e−5 x (25x2

+10x + 2)+ C ;

116

arctg3xdx =

u = arctg3x,

du =

3dx

= xarctg3x −

3xdx

1 +9x2

∫

dv = dx,

v = x

∫1 +9x2

= xarctg3x −

∫

d(1 + 9x

2 )

= xarctg3x −

+9x

+C .

1 + 9x2

6 ln

Интегрирование рациональных функций

Рациональной функцией (или дробно-рациональной функцией,

или рациональной дробью) называется выражение вида Pn ((x)),

Qm x

где Pn (x) и Qm (x) – многочлены степеней соответственно n и m

относительно переменной x. Рациональная дробь Pn ((x)) называ-

Qm x

ется правильной, если n < m. В противном случае (n ≥ m) дробь на-

зывается неправильной.

Простейшие рациональные дроби классифицируются по следующим четырем типам:

;

II.

, (k = 2, 3, …);

(x − a)

x − a

III.

Ax + B

, (p

− 4q < 0);

IV.

Ax + B

, (k = 2, 3,

…),

(x2 + px + q)k

x2 + px + q

где A, B, a, p, q – действительные числа; кроме того, по отношению к дробям вида III и IV предполагается, что трехчлен

x2 + px + q не имеет вещественных корней, так что q −	p2	> 0 .
	4

Рациональные дроби I и II типов интегрируются непосредственно с помощью основных правил и таблицы интегралов:

∫x −Aa dx =A∫d (xx−−aa) = Aln x − a + C.

Интеграл от простейшей дроби III типа вычисляется приведением знаменателя к сумме квадратов:

117

Rk ((x)).

Qm x

p 2

p2 − 4q

p 2

4q − p2

+ px + q = x

−

и последующей заменой

x +

= t

переменной x:

Ax + B

dx =

x +

= t

At + B − 2

dt = A

dt +

∫x2 + px + q

∫

4q − p2

dx = dt

4q − p2

B −

4q − p

B −

+∫

+C =

arctg

4q − p2

B −

2x + p

+ px + q

+C .

arctg

4q − p2

Интеграл от простейшей дроби IV типа можно найти методом интегрирования по частям с помощью рекуррентных соотношений, понижающих степень в знаменателе дроби или с помощью таблиц неопределенных интегралов.

Всякая неправильная рациональная дробь Pn ((x)) с помощью

Qm x

деления числителя на знаменатель по правилам деления многочле-

нов приводится к виду

(x)

= L

(x)

, где

(x) –

(x)

n−m

(x)

n−m

(x)

многочлен – целая часть дроби

; R

(x)

– остаток при деле-

(x)

нии, при этом

– правильная дробь (k < m).

(x)

В результате интегрирование неправильной рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена Ln−m (x) и правиль-

ной дроби

118

Теорема. Пусть Pn ((x)) – правильная рациональная дробь

Qm x

( n < m ), где, не ограничивая общности, считаем, что коэффициент

при старшей степени x в многочлене Qm (x)	равен 1. Пусть далее
Qm (x)= (x − a)α ... (x − b)β (x2 + px + q)γ ... (x2	+ rx + s)δ – разложе-
ние многочлена Qm (x) на произведение неприводимых (т. е. не-

разложимых в множестве ) множителей, где a, ..., b – действительные корни Qm (x); x2 + px + q, ..., x2 + rx + s – квадратные трехчлены, не имеющие действительных корней. Тогда имеет место следующее разложение (теоретическое, т. е. с неопределен-

ными

коэффициентами)

правильной

рациональной

функции

в сумму простейших:

Pn (x)

+... +

Qm (x)

x − a

(x − a)2

(x − a)α

x − b

(x − b)2

+	Bβ	+
	(x −b)β

x + N

+... +

Mγ x + Nγ

+... +

(3.3)

(x2 + px + q)2

(x2 + px + q)γ

x2 + px + q

K1x + L1

Kδx + Lδ

... +

x2 + rx + s

(x2 + rx + s)δ

где A1, A2, ..., Aα, B1, B2, ..., Bβ, M1, N1, M2, N2, ..., Mγ, Nγ, K1, L1, ...,

Kδ, Lδ – некоторые действительные числа – неизвестные коэффициенты, подлежащие определению.

Из формулы (3.3) следует, что линейным множителям знаменателя Qm (x) соответствуют простейшие дроби I и II типов, а квадратным множителям – III и IV типов, при этом число простейших дробей, соответствующих данному множителю, равно степени, с которой этот множитель входит в разложение знаменателя дроби.

Например, правильная дробь

x +7

представима

x2 (x +2)(x2 +7x +16)

x + 7

в виде суммы четырех простейших дробей:

x2 (x + 2)(x2 + 7x +16)