Файл: Марченко_Высшая математика.pdf

Пример. Рассмотрим функцию f (x)=

. При x = 2 она

не определена. Покажем, что lim

= 5. Для этого достаточно

Сделать презентацию

Скачать файл (4,36Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 18.05.2025

Просмотров: 1563

Скачиваний: 21

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Если из окрестности B(a)

или Bε (a) саму точку a

уда-

лить, то получим соответственно проколотую

(a) ок-

B(a)

или Bε

рестность этой точки.

B(x0 ) = (α; a) (a; β); Bε (a) = (a −ε; a) (a; a + ε).

Окрестность бесконечно удаленной точки:

+∞) = (p; +∞) ={ x

: x > p},

p – любое действительное

число (рис. 1.14, а);

B(−∞)

= (−∞; q)={ x

: x < q},

q – любое действительное

число (рис. 1.14, б);

B(∞) = (−∞; q) (p; +∞), q < p – любые действительные числа

(рис. 1.14, в);

)

(

)

{

}

ε (

)

(

∞ =

−∞; −ε

+ε; +∞

>ε , где ε >0 (рис. 1.14, г).

–ε

+ε

Рис. 1.14. Окрестности бесконечно удаленной точки

Понятие предела функции. Односторонние пределы

Пусть функция y = f (x)

определена в некоторой проколотой

окрестности

B(a) точки а.

y = f (x) при

Число b называется пределом функции

x → a,

если для любой окрестности B(b)

точки b найдется такая проко-

лотая окрестность

точки

а,

что как

(a), то

B (a)

только x B

f (x) B(b),

что

обозначается

b = lim f (x)

или

f (x)→ b при

x → a ( f (x)

x→a

стремится к b при x, стремящемся к а).

Коротко определение предела можно записать с помощью ло-

гической символики:

b = lim f (x) B(b) B

(a) (x B(a) f (x) B(b)).

x→a

Здесь точки а, b могут быть как конечные, так и бесконечные, что приводит к некоторым частным понятиям предела.

Примеры:

1) конечные пределы в конечной точке (a , b ). В этом случае в качестве окрестностей точек а и b можно взять δ- и ε-окрестности, и тогда определение предела удобно записывается на языке «ε − δ»:

b = lim f

(x) ε > 0 δ = δε > 0 (0 <

x − a

< δ

f (x)−b

< ε).

x→a

Таким

образом,

число b называется пределом функции

y = f (x) при x → a,

если для любого как угодно малого ε > 0

найдется такое число δ > 0, что для всех х, удовлетворяющих условию x − a < δ, x ≠ a, будет выполняться неравенство f (x)−b < ε

(рис. 1.15).

y = f (x)

b + ε

b – ε

0		a – δ a a + δ			x
		Рис. 1.15. Выбор окрестности точки а
		по заданной ε-окрестности точки b
2) конечные пределы на бесконечности (b				). В частности,

	b = lim f	(x) ε > 0 δ = δε > 0 (x > δ	f	(x)−b	< ε).
	b = lim f	(x) ε > 0 δ = δε > 0 (x > δ	f	(x)−b	< ε).
	x→+∞

Таким образом, число	b называется	пределом функции
y = f (x) при x →+∞, если	для любого	как угодно малого

ε > 0 найдется такое число δ > 0, что для всех х, удовлетворяющих условию x > δ, будет выполняться неравенство f (x)−b < ε

(рис. 1.16).

y	y
b + ε	b + ε
b	b
b – ε	b – ε
	b – ε

0 δ

Рис. 1.16. Выбор окрестности бесконечно удаленной точки по заданной ε-окрестности точки b

Остальные частные случаи пределов запишем в сжатой форме с помощью логической символики:

b = lim f (x) ε < 0 δ = δε > 0 (x < δ

(x)−b

< ε);

x→−∞

b = lim f (x) ε > 0 δ = δε > 0 (

> δ

(x)−b

< ε).

x→∞

3) бесконечные пределы в конечной точке

(a ). В этом

случае в качестве окрестности точки а можно взять δ-окрестность. В частности,

lim f (x)= +∞ M > 0 δ = δM > 0 (0 < x − a < δ f (x)> M ).

x→a

Таким образом, функция y = f (x) при x → a имеет предел, равный +∞, если для любого как угодно большого M > 0 найдется такое число δ > 0, что для всех х, удовлетворяющих условию x − a < δ, x ≠ a, будет выполняться неравенство f (x)> M

(рис. 1.17).

0	a – δ	a a + δ	x
	Рис. 1.17. Предел, равный +∞

Остальные частные случаи пределов запишем в сжатой форме с помощью логической символики:

lim f (x)= −∞ M < 0 δ = δM > 0 (0 < x − a < δ f (x)< M );

x→a

lim f (x)= ∞ M > 0 δ = δM > 0 (0 < x − a < δ f (x) > M ).

x→a

4) бесконечные пределы на бесконечности запишем в сжатой форме с помощью логической символики:

lim f (x)= +∞ ε > 0 δ = δε > 0 (x > δ f (x)> ε);

x→+∞

lim f (x)= −∞ ε < 0 δ = δε > 0 (x > δ f (x)< ε);

x→+∞

lim f (x)= −∞ ε < 0 δ = δε < 0 (x < δ f (x)< ε);

x→−∞

lim f (x)= +∞ ε > 0 δ = δε < 0 (x < δ f (x)> ε);

x→−∞

lim f (x)= ∞ ε > 0 δ = δε > 0 (x > δ f (x) > ε).

x→∞

Важным частным случаем понятия предела функции является понятие предела последовательности.

Конечное число а называется пределом числовой последова-
тельности {x	}, если для любого сколь угодно малого положи-
n	ε найдется такое натуральное число n0 (ε), что все
тельного числа
члены этой последовательности с номерами n > n						(ε) удовлетво-
ряют неравенству		x	− a	< ε.	0

В этом случае		n			или x →a	(при n → +∞)
			пишут lim x = a
				n→∞ n	n
и говорят, что последовательность {x }					(или переменная x ) имеет
				n		n

предел а.

Для случая последовательности часто вместо n →+∞ пишут n → ∞. Таким образом,

a = lim xn ε > 0 n0 (ε)( n > n0 (ε) xn − a < ε).

n→∞

Говорят, чточисловаяпоследовательность{xn}стремитсяк +∞ (аналогично к −∞), что записывается xn →+∞ (соответственно xn →−∞), если для любого наперед заданного как угодно большого положительного числа М найдется такое натуральное число n0 = n0 (M ), что для всех n > n0 члены этой последовательности удовлетворяют неравенству xn > M (соответственно xn < −M).

Так, при xn →+∞ можно записать:

lim xn = +∞ M > 0 n0 (M )( n > n0 (M ) xn > M ).

n→∞

Отметим, что для существования предела функции при x → a не требуется, чтобы функция была определена в точке а. При нахождении предела рассматриваются значения функции в точках из окрестности точки а, отличные от а.

Поясним это на примере.