Минимум для аудиторной работы
1.а), в); 2. б), в); 3; 4. а), б), в); 5. а), в), г); 6. а), г); 7. а), в);
8.а), б), в); 9. а), в), д), е); 10. а), б), г), д), е).
4.1.4. Ответы
|
|
|
7 |
1 |
|
−7 |
|
|
1. а) |
T |
= |
|
|
|
|
|
; |
A |
5 3 0 |
|
|
|
|
|
−1 |
1 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
−6 |
2. б) 2A + 3B − C = |
|
2 |
3 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33 |
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
б) |
T |
=[4 2 3]; |
|
|
T |
= |
|
A |
|
в) A |
b . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
8 |
15 |
−12 |
|
|
|
3. 3A + |
2E = |
|
|
−7 |
3 |
|
. 4. а) 13; |
−3 |
|
|
|
|
|
|
6 |
3 |
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) −2a2 ; |
в) sin 2x ; |
г) 0; |
д) ln(x5 y2 ) . |
5. а) 100; |
|
3 |
−2 |
|
−2 |
1 |
|
|
3 |
−1 |
г) 0; д) 1. |
|
|
−1 1 |
6. а) |
|
; б) |
3 |
−1 |
; в) |
|
−1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
7.а) x = −3 ; б) x −1 ;2 ; в) [1,2;+∞); г) (–0,25; 1).
2
б) 30; в) 78;
−1
; г) нет.
8.а) (2; –1) –0
точка пересечения двух прямых; б) решений нет, прямые параллельны; в) бесчисленное множество решений: y = c, x = 3c +1,5,
c ; прямые совпадают. 9. а) (–2; 3; 5); б) (4; 5; –3); в) метод не
применим; г) (1; 3; –3); д) (2; 1; 3); е) (0; 0; 0). |
10. а) (2; |
–1; 3); |
б) (3; –1; 1); в) (–2; 1; –3); г) несовместна; д) (−1,3c; |
0,9c; c), |
c ; |
е) (−12 +6,5c; 6 −3,5c; 5 −3c; c), c ; ж) (1; 0; 2); з) (c −1; 2 −c; c), c .
4.2.ВЕКТОРЫ
4.2.1.Теоретический минимум
1.Понятие вектора.
2.Линейные операции над векторами.
3.Векторный базис, координаты вектора.
4.Скалярное произведение двух векторов.
5.Векторное произведение двух векторов.
6.Смешанное произведение трех векторов.
7.Пространство n .
Понятие вектора
Под вектором на плоскости или в пространстве будем понимать направленный отрезок, который можно переносить параллельно самому себе (свободный вектор).
При обозначении вектора направление обычно подчеркивается стрелкой: a, AB (если вектор задается началом A и концом B); дли-
на вектора называется его модулем и обозначается |
|
a |
|
, |
AB |
. |
|
|
|
|
Вектор, длина которого |
|
|
|
равна единице, |
a |
B |
называется единичным вектором или ортом, а |
|
|
|
длина которого равна нулю – нулевым или |
Aнуль-вектором (обозначается 0 , направление его произвольно).
Векторы, лежащие на параллельных прямых или на одной прямой, называются коллинеарными и обозначаются a || b .
Два ненулевых вектора a и b называют равными, если их модули и направления совпадают.
Два коллинеарных вектора называются противоположными, если их модули равны, а направления противоположны. Вектор, противоположный вектору a , обозначается ( −a ).
Векторы, лежащие в параллельных плоскостях (или в одной плоскости), называются компланарными.
Линейные операции над векторами
Линейными операциями над векторами называют их сложение, вычитание, умножение вектора на число.
Суммой двух векторов a и b называется вектор c = a + b , начало которого совпадает с началом вектора a , а конец – с концом вектора b при условии, что вектор b отложен из конца вектора a .
Вектор a + b можно построить по правилу треугольника или параллелограмма.
Чтобы сложить несколько векторов, нужно перенести их параллельно самим себе так, чтобы начало каждого последующего вектора совпадало с концом предыдущего. Тогда вектор, начало которого совпадает с началом первого, а конец – с концом последнего, представляет сумму слагаемых векторов (правило замыкания ломаной).
Разностью векторов a − b называется вектор, равный сумме векторов a и (−b ), т. е. a −b = a + (−b), где (−b ) – вектор, противоположный b .
Вектор a − b можно построить по правилу параллелограмма.
Правило треугольника |
Правило замыкания ломаной |
|
|
|
|
|
|
a +b +c |
c |
|
a + b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
b |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Правило параллелограмма |
|
|
a + b |
|
|
|
b |
a −b |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
Произведением |
вектора a на число λ называется вектор |
b = λ a , модуль b |
которого равен |
λ a , а направление совпадает |
с направлением вектора a , если λ > 0 , и противоположно направлению вектора a , если λ < 0 .
Отсюда – условие коллинеарности двух векторов:
a || b b = λ a или a =λb .
Основные свойства линейных операций над векторами
|
1. |
a + b = b + a . |
6. |
a + 0 = a , a 0 = 0 . |
|
2. (a + b) + c = a + (b + c) . |
7. |
−1 a = −a . |
|
3. λ (a + b) = λ a + λ b . |
8. |
a − a = 0 . |
|
9. |
a 1 = a . |
|
4. λ(μa) = (λ μ)a . |
|
10. Если c = a + b , |
|
5. (λ +μ)a = λ a + μ a . |
|
то a = c − b и b = c − a . |
|
|
|
Векторный базис, координаты вектора
Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат Oxy и a – произвольныйвектор, лежащийвэтойплоскости.
Переместим a , сохраняя его длину и направление так, чтобы его начало совпало с началом координат. Получим вектор OM = a .
167
y |
M (x; y) Обозначим через (x; y) координаты точки |
βМ, через α и β – углы, которые образует вектор OM с положительными направле-
αниями осей Ох и Оу; cosα и cosβ назы-
|
x ваются направляющими косинусами век- |
O |
|
тора OM . |
Проекцией вектора a на ось l называется число, равное произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и осью; обозначается npl a .
Тогда npOx OM = OM cos α = x , npOy OM = OM cosβ = y.
Координатами вектора на плоскости Oxy называются его проекции на координатные оси.
Следовательно, x и y – координаты вектора OM . Записывают
OM ={x; y}.
Вектор OM называют радиус-вектором точки М. Точка и ее радиус-вектор имеют одинаковые координаты. Из OMP получаем:
|
OM |
= |
|
|
x2 + y2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Исходный вектор a имеет ту же длину, образует такие же уг- |
лы с осями координат, что и OM , |
поэтому вектор a имеет такие |
же координаты: a ={x; y}и |
|
a |
|
= |
|
x2 + y2 . |
|
|
|
|
|
|
|
Так как x = |
|
a |
|
cosα, y = |
|
a |
|
|
cosβ, то имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosα = |
|
|
x |
|
= |
|
|
|
x |
, cosβ = |
|
|
y |
= |
|
|
y |
|
– направляющие ко- |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + y2 |
|
|
|
|
x2 + y2 |
|
синусы |
|
вектора a ={x; y}. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вектор |
ea ={cos α; cosβ} |
|
|
является единичным вектором на- |
правления вектора a . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Базис на плоскости – это два произвольных неколлинеарных |
вектора на этой плоскости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α2e2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть векторы e1 |
|
и e2 образуют базис на |
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
плоскости. Тогда произвольный вектор c этой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
плоскости может быть единственным образом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
представлен в виде линейной комбинации |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
α e |
|
|
|
|
|
|
|
|
векторов e1 и e2 (разложен по векторам e1 и e2 ): |
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c = α1e1 + α2e2.
Здесь α1 и α2 – координаты вектора c в базисе e1 , e2 . Единичные векторы i ={1; 0} и j ={0; 1} образуют базис
на плоскости Oxy, их называют декартовыми ортами на плоскости.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таккак a |
= |
OM |
= |
OP |
+ |
OK |
= |
xi |
+ |
yj , то { |
x; y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
} – |
|
y |
|
|
координаты вектора a в базисе i , j . |
|
|
|
|
|
|
|
K |
M |
|
Аналогично пусть в пространстве зада- |
|
|
|
на декартова прямоугольная система коор- |
1 |
|
|
|
|
j |
|
|
динат Oxyz и точка M (x; y; z) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Любые |
три |
некомпланарных вектора |
|
i |
|
P x |
|
O |
|
1 |
|
образуют базис в пространстве. |
={1; 0; 0}, |
j ={0; 1; 0}, k ={0; 0; 1} – |
|
Введем базис i , j, k , где i |
декартовы орты на осях Ox, Oy, Oz соответственно. Для радиус-
вектора точки M имеет место разложение |
|
z |
|
M |
OM = OP + PN + NM = xi + yj + zk . |
Следо- |
|
|
вательно, {x; y; z} – |
координаты |
вектора |
|
T |
|
|
y |
|
|
|
a =OM в базисе i , j, |
k . |
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
k |
|
|
|
В дальнейшем для удобства координа- |
|
N |
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
i |
x |
ты вектора a будем обозначать {x ; y |
; z |
}. |
|
|
|
|
|
a |
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть α, β, γ – углы, образованные вектором a с осями координат Ох, Оу, Oz соответственно. Тогда имеют место формулы
|
xa = |
|
a |
|
cosα, |
ya |
= |
|
a |
|
cosβ, |
za = |
|
a |
|
cos γ, |
|
|
|
|
|
|
a |
|
= x2 |
|
+ y2 + z2 |
, e ={cos α; cosβ; cos γ}, |
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
a |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosα = |
|
xa |
|
, cosβ = |
|
ya |
, cos γ = |
|
za |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
cos2 α+ cos2 β+ cos2 γ =1.
В дальнейшем будем считать, что в пространстве задана декартова прямоугольная система координат.
Пусть векторы a, b заданы своими координатами в базисе i , j, k : a ={xa ; ya ; za}= xai + ya j + zak , b ={xb ; yb ; zb} = xbi + yb j + zbk . Тогда
169
