ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.05.2025
Просмотров: 406
Скачиваний: 0
31
Определение перемещений при кручении
Если на участке бруса крутящий момент и полярный момент инерции бруса постоянны, то угол закручивания – угол относительного поворота концевых сечений этого участка (в радианах) определяется по закону Гука
M k l
GI p
где l – длина рассматриваемого участка; G – модуль сдвига.
Если брус ступенчатый и крутящий момент скачкообразно изменяется по его длине, то полный угол закручивания бруса, т.е. взаимный угол поворота его концевых сечений, может быть определен суммированием углов закручивания по участкам, в пределах которых Mk и Ip постоянны
1 |
M k l |
|
G |
I p |
Угол закручивания на единицу длины бруса называется относительным углом закручивания. Он обозначается θ и определяется из выражений
d |
M k |
|
dx |
GI p |
Расчет брусьев на прочность при кручении
Условие прочности бруса состоит в том, что наибольшее касательное напряжение в опасном сечении не должно превышать допускаемого касательного напряжения. τmax ≤ [τ]
Превышение наибольшего рабочего напряжения над допускаемым разрешается в пределах 5 %.
Расчеты на прочность бывают двух видов 1. Проверка почности
M k
max Wp
2. Подбор сечения
M max
Wp k
Расчет на жесткость
Для нормальной работы бруса и связанных с ним деталей он должен иметь достаточную жесткость, т.е. наибольший относительный угол закручивания бруса не должен превышать допускаемого.
Условие жесткости бруса
Mkmax |
|
max |
GI p |
где [θ] – допускаемый относительный угол закручивания.
Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час.
32
ИЗГИБ
Изгибом называется такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях балки действует изгибающий момент.
Виды изгибов.
В зависимости от наличия в поперечных сечениях силовых факторов различают следующие виды изгиба:
а) чистый, когда в поперечных сечениях действует только один изгибающий момент M, а все другие силовые факторы отсутствуют;
б) поперечный, когда в поперечных сечениях одновременно с изгибающим моментом M действует поперечная сила Q;
в) продольный и продольно поперечный, когда в поперечных сечениях одновременно с изгибающим моментом M действует нормальная N и поперечная Q силы.
Y
N
Z
N
Каждый вид изгиба, в свою очередь может быть прямым или косым, при этом косой изгиб бывает плоский и пространственный. Рассмотрим рис. Пусть NN – след плоскости, в которой действует полный изгибающий момент, а оси Y и Z главные центральные оси сечения. Если угол α=0 или α=90°, изгиб называют прямым, если α≠0 и α≠90°, изгиб называют косым.
Косой изгиб, когда α=const по длине балки, называется плоским; когда α≠const, называется
пространственным.
Напряжения в поперечных сечениях балки при чистом изгибе
Рассмотрим балку, имеющую продольную плоскость симметрии, в которой действуют все внешние силы. В данном случае перемещения при изгибе будут так же происходить в плоскости симметрии.
Рассмотрим |
участок |
балки, |
||
М |
М |
испытывающий чистый изгиб. Нанесем на его |
||
поверхности сетку. Под действием внешних |
||||
моментов M балка как будет показано позже, |
||||
изогнется по дуге окружности. Деформацию |
||||
балки при чистом изгибе можно рассматривать |
||||
как поворот плоских поперечных сечений друг |
||||
относительно друга на некоторый угол. |
||||
Так как при деформации верхние волокна |
||||
удлиняются, а нижние укорачиваются, то будет |
||||
существовать слой, |
в котором |
волокна |
||
сохранят свою длину. Этот слой называют нейтральным слоем. Пересечение нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения называется нейтральной линией или нейтральной осью сечения.
Изобразим элемент балки длиной dx после деформации.
Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час.
33
c
M a
y
N
Y |
|
d |
Z |
M |
|
b |
|
N |
Обозначим: NN – нейтральный слой; О – центр кривизны нейтрального слоя; – радиус кривизны нейтрального слоя; d – угол между сеченьями. Из рисунка видно, что
1 d
dx
Выделим на расстоянии y от нейтрального слоя волокно cd. Так как до деформации все волокна элемента имели длину dx=ab, то относительная продольная деформация волокна cd в результате изгиба будет равна
cd ab |
y d |
d |
1 |
y |
||
ab |
d |
|||||
где 1 – кривизна принимаемая по абсолютной величине, без учета знака.
Из формулы видно, что относительные продольные деформации прямопропорциональны кривизне нейтрального слоя и расстоянию y волокна от нейтрального слоя.
Поскольку продольные линейные деформации сопровождаются поперечными деформациями: при растяжении сужением, а при сжатии
расширением в поперечном направлении т.е. z x то
первоначально прямоугольное сечение превращается в сечение трапециидальной формы.
Так как при чистом изгибе Q=0; Mk=0, то в поперечных сечениях отсутствуют касательные напряжения, а значит, между продольными волокнами отсутствует взаимодействие.
На основании закона Гука нормальные напряжения в сечении будут
x x E |
Ey |
(а) |
Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час.
34
Y |
|
Z |
|
+ |
|
- |
Y |
Z |
|
dA |
||
x
y
Из формулы видно, что:
а) напряжения в поперечном сечении балки
изменяются по линейному закону; |
||||
б) |
напряжения |
в |
волокне |
прямо |
пропорциональны расстоянию от волокна до нейтральной оси (на рисунке ось Z);
в) максимальные напряжения возникают в крайних волокнах сечения.
Распределенные по сечению напряжения должны дать относительно поперечной оси Z-Z пару сил с моментом, равным изгибающему моменту, действующему в данном сечении. Выделим элементарную площадку dA на расстоянии y от нейтральной линии. Элементарный изгибающий момент, создаваемый элементарной силой, действующий на площадку относительно нейтральной линии
будет |
dM x ydA |
Полный изгибающий момент в сечении найдем, проинтегрировав выражение по всей площади сечения
M |
x ydA |
Ey |
ydA |
|||||||||
A |
A |
|||||||||||
Так как кривизна и модуль упругости постоянны |
||||||||||||
M |
E |
y 2dA |
E |
I |
||||||||
z |
||||||||||||
A |
||||||||||||
откуда |
||||||||||||
1 M |
(б) |
|||||||||||
EI z |
||||||||||||
так как E=const; Iz=const то 1/ |
=сonst. Следовательно, балка изгибается по |
|||||||||||
дуге окружности радиусом . |
||||||||||||
Произведение EIz – называется жесткостью поперечного сечения балки при изгибе.
Так как в поперечном сечении отсутствует нормальная сила N, то интеграл от элементарной силы σxdA, действующей на площадку dA, взятый по всей площади сечения, должен быть равен нулю.
N |
x dA |
Ey |
dA |
E |
ydA 0 |
A |
A |
A |
но |
E |
0, |
тогда ydA 0 |
Известно, что ydA Sz – |
A |
A |
Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час.
35
статический момент площади поперечного сечения относительно нейтральной оси Z-Z. Так как Sz=0, то нейтральная ось Z-Z проходит через центр тяжести поперечного сечения.
Подставляя формулу (б) в формулу (а), получим расчетную формулу, позволяющую определить напряжения в любой точке поперечного сечения балки
My
x |
I z |
Наибольшие растягивающие и сжимающие напряжения в сечении возникают в точках наиболее удаленных от нейтральной оси
Mymax |
M |
где Wz |
I z |
– осевой момент сопротивления |
|||
max |
I |
W |
ymax |
||||
z |
|||||||
z |
|||||||
ymax – расстояние от нейтральной оси до наиболее удаленной точки сечения.
Если сечение симметрично относительно оси Z, ymax |
h |
где h – высота |
|
2 |
|||
сечения. Если сечение не имеет горизонтальной оси симметрии, то для крайних верхних и нижних точек сечения в формулу подставляются величины
В |
I z |
Н |
I z |
||||
Wz |
; |
Wz |
|||||
y В |
y Н |
||||||
max |
max |
||||||
где ymaxВ |
– расстояние |
от |
нейтральной оси до крайних верхних точек |
||||
сечения; YmaxН – расстояние от нейтральной оси до крайних нижних точек сечения.
Напряжения в поперечных сечениях балки при поперечном изгибе
При поперечном изгибе, в соответствии с внутренними силовыми факторами, в поперечных сечениях балки возникают нормальные и касательные напряжения, вызывающие давление продольных волокон друг на друга. Наличие касательных напряжений вызывает в каждой элементарной площадке сечения появление угловых деформаций. Точные расчеты с использованием теории упругости показывают, что искривление поперечных сечений незначительно отражается на величине нормальных напряжений, определяемых по формулам для чистого изгиба.
Расчет балок на прочность при изгибе
Практика показывает, что в балках имеющих сплошное поперечное сечение, а также сечения с достаточно толстыми стенками, опасными являются крайние точки в опасном сечении, в котором изгибающий момент имеет максимальное значение. В этих точках касательные напряжения
Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час.