Файл: Левданский_Прикладная механика.pdf

Сделать презентацию

Скачать файл (1,38Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.05.2025

Просмотров: 411

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

	Yc		A
b		z	A
Y1		z
	C	y
	C		Zc
r			Zc
			a
			Z1

S z1		aA
S y1		bA
I	z1	I	zc	a 2	A

I	y1	I	yc	b 2	A

I z1 y1			I zcyc		abA

Теперь рассмотрим подобные преобразования в отношении полярного момента инерции сечения

a2 A I

b2 A I

a2 b2 A I

r2 A

Главные оси и главные моменты инерции

Если рассмотреть какие-либо центральные оси и найти относительно

их осевые моменты инерции сечения Iz и Iy , а затем повернуть эти оси на произвольный угол α и найти моменты инерции относительно новых осей Izα и Iyα , то можно заметить, что Iz ≠Izα и Iy ≠Iyα в тоже время Iz + Iy= Izα + Iyα .

Y Y		Таким образом, с изменением угла
		поворота осей α каждая из величин Izα и Iyα

		меняется, а их сумма остается неизменной.
		меняется, а их сумма остается неизменной.
		Следовательно	существует такое	α, при
	Z	котором один из моментов		инерции
	Z	котором один из моментов		инерции

		достигает своего максимального значения, в
	Z	достигает своего максимального значения, в
	Z	то время как другой момент инерции
		то время как другой момент инерции
		принимает минимальное значение. Оси,
		относительно	которых осевые	моменты
		инерции сечения достигают экстремальных

значений, называются главными осями. Моменты инерции относительно главных осей называют главными моментами инерции. Если у сечения имеется ось симметрии, то она является одной из главных центральных осей (вторая главная центральная ось соответственно перпендикулярна ей). В общем случае положение главных центральных осей (угол наклона) относительно произвольных центральных осей можно определить, используя зависимость

2I zy
tq2
I z	I y

Положительный угол α откладывается против хода часовой стрелки, отрицательный по ходу часовой стрелки. Величины главных моментов инерции определяются по зависимости

	I	z	I	y	1
I max,min						I z	I y	2 4I zy2

			2		2

Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час.

Геометрические характеристики простых сечений

Прямоугольник

		Y
	dy
	y	Z
	h	Z
	h
		b

Вычислим момент инерции сечения относительно оси Z

проходящей

через центр

масс

параллельно основанию

(главная центральная ось). За

dA примем

площадь

бесконечно

тонкого

слоя

bdy .

Тогда

y 2 dA

y 2 dy

I Z

Аналогично

находится

осевой момент

инерции

относительно

второй главной

центральной оси

I y

hb3

Круг

Y	Определим полярный момент инерции относительно






d

центра масс круга.			I p			2 dA .За dA примем площадь
				A
бесконечно		тонкого		кольца			толщиной d . Тогда
		d			d
								d 4
		2			2			d 4
I	2 dA	2 2	d	2		3d			. Исходя из того,
I	2 dA	2 2	d	2		3d			. Исходя из того,
	p						32
	A	0			0		32
	A	0			0

что полярный момент инерции равен сумме осевых

моментов инерции, а круг	фигура		абсолютно
симметричная можно записать: IZ	IY	d 4	.
		64

Аналогичные вычисления можно выполнить и для других геометрических фигур

Треугольник равнобедренный

	Y
		bh3
h	I Z	;
h	Z	36
	IY	hb3
	IY	48
		48
	b

Моменты инерции сложных сечений

Момент инерции сложного сечения равен сумме моментов инерции простых фигур, на которые можно разбить сложное сечение. При сложении моментов инерции простых фигур составляющих сложное сечение, необходимо учитывать взаимное расположение осей для всего сечения и для составляющих его фигур. Если эти оси параллельны, вычисления

Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час.

производятся по зависимостям, полученным в разделе «Параллельный перенос осей» если оси непараллельные расчеты усложняются.

Моменты инерции прокатных сечений (двутавров, швеллеров, уголков и т.д.) и для других, не рассмотренных выше, простых фигур имеются в справочной литературе.

КРУЧЕНИЕ

Деформация кручения прямого бруса вызывается внешними парами сил, действующими в плоскостях, перпендикулярных к оси бруса. Моменты внешних пар сил называются скручивающими.

	В общем случае на брус действует
Tn-1	несколько скручивающих (внешних) моментов,
T2	при этом они уравновешивающиеся.
	при этом они уравновешивающиеся.
Tn	При кручении	в поперечных сечениях
Tn	бруса внутренние силы приводятся к одному
	бруса внутренние силы приводятся к одному
T1	силовому фактору – крутящему моменту.
	При работе брусьев часто бывают заданы
передаваемая мощность и	угловая скорость ω	при этом скручивающий

момент вычисляют по формуле

T (Нм)

где N – мощность в (Вт); ω – угловая скорость (rad/сек).

Напряжения при кручении брусьев круглого сплошного и кольцевого сечений

Напряжения и деформации при кручении существенно зависят от формы поперечного сечения бруса. Гипотеза плоских сечений (нет продольных деформаций) справедлива лишь для бруса с круглым сплошным или кольцевым поперечным сечением. В остальных случаях происходит искажение поперечных сечений.

Теория кручения бруса круглого поперечного сечения основана на следующих допущениях

1. Ось бруса ОС после деформации остается прямой линией.

		l
T		В'
		В'

		x
	О	В
		В
	А
		x

Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час.

2.Расстояния между поперечными сечениями остаются неизменными, т.е. удлинения (укорочения) волокон отсутствуют.

3.Поперечные сечения плоские до деформации, остаются плоскими и перпендикулярными к оси бруса после деформации (гипотеза плоских сечений).

4.Радиусы поперечных сечений, поворачиваясь на определенный угол, остаются прямыми (например, радиус ВС займет положение В'С).

Справедливость этих допущений подтверждена на практике.

В поперечных сечения в рассматриваемом случае возникают лишь касательные напряжения, определяемые по формуле

	М к	(Па)
	I p	(Па)
	I p

где Мк – крутящий момент в исследуемом поперечном сечении; – расстояние от исследуемой точки до оси бруса; Ip – полярный момент инерции поперечного сечения бруса.

max			max

d 0

d 4

Для кругового кольца

Для круга I p

0,1d 4

d 4

I p

0,1d 1 c

где

В любой точке

поперечного сечения

касательное

напряжение

перпендикулярно радиусу, проходящему через эту точку. Наибольшей величины касательные напряжения достигают в крайних точках сечения, наиболее удаленных от оси бруса:

M k

max

M k

max

I p