Файл: Левданский_Прикладная механика.pdf

36

отсутствуют, поэтому практический расчет балок на прочность производят по условию прочности без учета касательных напряжений.

Используя известные уравнения можно вычислить нормальные σ напряжения, возникающие в любой точке сечения, если известен изгибающий момент для этого сечения. Нормальные напряжения максимальны в крайних точках сечения и равны нулю на нейтральной оси. Следовательно, опасной точкой может быть точка, расположенная в крайних волокнах сечения, где действует наибольший изгибающий момент, и условие прочности запишется в виде

M max

max Wz

где [σ] – допускаемое напряжение.

Если материал не одинаково сопротивляется растяжению и сжатию, то условие прочности должны удовлетворять отдельно

где [σp] и [σc] – соответственно допускаемые напряжения на растяжение и сжатие.

Рациональные формы сечений балок при изгибе

Выбор поперечного сечения балки определяется материалом, характером внешней нагрузки и условиями работы конструкции. Сечение балки считается рациональным, если оно обеспечивает необходимую прочность при минимальном весе (площади поперечного сечения). Согласно условию прочности наиболее рациональной формой сечения является та, для которой при постоянной площади осевой момент сопротивления имеет наибольшее значение. Рассмотрим прямоугольное сечение

Прямоугольное поперечное сечение, при сохранении площади, становится более рациональным с увеличением высоты. Этот вывод справедлив только для балок, изготовленных из пластичного материала, оказывающего одинаковое сопротивление при растяжении и сжатии. Для

Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час.

37

балок из хрупкого материала, у которого допускаемое напряжение на растяжение [σp] значительно меньше допускаемого напряжения на сжатие [σc], целесообразно применять сечения, несимметричные относительно нейтральной оси, при этом наивыгоднейшей формой будет такое, у которого расстояния h1 и h2 от нейтральной оси до наиболее удаленных растянутых и сжатых

Ранее рассмотренные виды нагружения являются простыми. На практике часто детали конструкций подвергаются действию нагрузок, создающих различные комбинации из простых нагружений (в поперечных сечениях одновременно действует несколько видов силовых факторов). Расчет таких видов нагружения производится на основе принципа независимости действия сил. Когда действующие в сечении внутренние силовые факторы создаются одним видом напряжений, трудностей с расчетом не возникает. Когда в сечении возникают одновременно нормальные и касательные напряжения необходимо использовать теорию прочности, наиболее адекватно описывающую напряженное состояние возникающее при рассматриваемом виде нагружения.

ВНЕЦЕНТРЕННОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ

Внецентренным растяжением или сжатием называется такой вид нагружения, при котором под действием внецентренно приложенной продольной внешней нагрузки в поперечных сечениях бруса одновременно действуют нормальная сила и изгибающий момент.

Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час.

образом, внецентренное растяжение (сжатие) можно рассматривать как нагружение бруса центральной растягивающей (сжимающей) силой и моментами относительно

осей Z и Y. В любом поперечном сечении бруса будет действовать нормальная сила, равная F, и изгибающие моменты, равные внешним моментам Mz и My. Определим величину нормального напряжения в произвольной точке В с координатами Z и Y, которое на основании принципа независимости действия сил равно сумме напряжений от нормальной силы и изгибающих моментов.

F M Z Y MY Z F FYF Y FZF Z

A I Z IY A I Z IY

В полученном выражении два последних слагаемых разделим и умножим на площадь сечения А.

Воспользовавшись понятием радиуса инерции (раздел геометрические характеристики) можно окончательно записать

В полученной формуле численное значение силы F подставляется с соответствующим знаком в зависимости от того растягивающая эта сила или сжимающая, и все координаты со своим знаком. При использовании этой формулы необходимо помнить, что все входящие в нее геометрические характеристики (площадь, радиусы инерции, координаты) должны быть найдены относительно главных центральных осей того сечения, которому принадлежит исследуемая точка.

Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час.

следует:

а) при внецентренном растяжении и сжатии нейтральная линия не проходит через центр тяжести сечения;

б) положение нейтральной линии не зависит от величины и знака внешней нагрузки F;

в) нейтральная линия и полюс расположены по разные стороны от центра тяжести сечения;

г) нейтральная линия может как пересекать сечение, так и располагаться за его пределами.

Когда нейтральная линия пересекает сечение – в сечении возникают растягивающие и сжимающие напряжения, когда она проходит за пределами сечения – в сечении напряжения будут одного знака.

Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час.