ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 26.05.2025
Просмотров: 165
Скачиваний: 0
де
і
зв’язані диференціальним рівнянням
(1).
Так , що
і
задовольняють системі рівнянь
. (15)
Підставивши в
одне з рівнянь
,
тобто виключаючи його і в силу довільності
будемо мати з (15)
,
тобто
.
(16)
Звідки
,
тому
.
Теорема доведена.
Теорема (про
неєдиність інтегрувального множника).
Якщо
інтегрувальний множник диференціального
рівняння (1),
а
відповідний йому інтеграл, то
, (17)
де
– будь-яка неперервно–диференційована
функція не рівна тотожньо нулю, також
є інтегрувальним множником диференціального
рівняння (1).
Доведення.
Дійсно, помножимо диференціальне
рівняння (1)
на
,
отримаємо
Тобто ліва частина
є повним диференціалом функції
,
а це означає, що функція
,
визначена співвідношенням (18),
є інтегрувальним множником.
Теорема
(про загальний вигляд інтегрувального
множника). Два будь-яких інтегрувальних
множника
і
диференціального рівняння (1)
зв’язані співвідношенням
.
(18)
Доведення.
Нехай
і
– інтегрувальні множники, яким
відповідають інтеграли
і
,
тобто
.
Поділимо перше
рівняння на друге, отримаємо
Але два інтеграли диференціального
рівняння (1)
залежні, тобто
,
де
– диференційована функція. Маємо
.
Терема доведена.
Приклад. Розв'язати диференціальне рівняння
методом інтегрувального
множника знаючи, що
.
Розв'язання.
Оскільки
,
то
,
.
Помноживши наше рівняння на отриманий інтегральний множник, отримаємо рівняння
ліва частина якого є повний диференціал. Знаходимо
.
Тоді
,
,
.
Остаточно маємо
.
Приклад.
Розв’язати рівняння 2(х - у
)dу
= уdх.
Розв’язання.
Р = у, Q
= - 2(х - у
),
.
у = 0 – розв’язок рівняння. Нехай далі
у ≠ 0, знайдемо інтегруючий множник µ =
µ(у). З рівняння (2) маємо
.
Розв’язком цього рівняння є, наприклад,
.
Після множення даного рівняння на
,
отримаємо рівняння в повних диференціалах
.
Далі маємо:
.
Тому, з першого рівняння U(х, у)=
.
Підставивши U(х, у)=
в друге рівняння, отримаємо φ(у) = у² -
С. Розв’язки даного рівняння мають вид
у = 0,
.
Домашнє завдання: [2], стор. 32-39; [3], §6, стор. 25-27, №№ 195-199, стор. 28.