Використовуючи , отримаємо . Звідки

. (37)

Рівняння (37) розпадається на два

. (38)

Перше рівняння (3.38) дає , підставляючи його в (3.35) будемо мати загальний розв’язок

. (39)

Друге – , разом з (35) утворює параметричний розв’язок

. (40)

Розв’язок (40) є особливим, так як він співпадає з обвідною. Дійсно

,

звідки

. (41)

Дискримінантна крива (41) співпадає з розв’язком (40).

Приклад 3. Розв’язати рівняння Лагранжа

.

Розв'язання. Покладемо . Маємо , ,

, .

Отримали лінійне рівняння

.

Його розв’язок

, (42)

(43)

– загальний розв’язок нашого рівняння в параметричній формі. Або, виключаючи , отримаємо

. (44)

Знайдемо ті розв’язки, яким відповідають

---

.

Перший розв’язок – особливий, другий – частинний.

Приклад 4. Розв'язати рівняння

.

Розв'язання. Це рівняння Клеро. Його загальний розв’язок . Запишемо дискримінантну криву

.

Звідки – особливий розв’язок, так як через цей розв’язок проходить ще розв’язок, який міститься в загальному при .

Неповні рівняння

а) Диференціальні рівняння, які містять тільки похідну.

Це рівняння вигляду

. (45)

Рівняння (45) може мати скінчену або нескінчену кількість дійсних розв’язків

, (46)

де – деякі числа, які задовольняють рівняння .

Інтегруємо (46)

(47)

Так як , то

(48)

– загальний інтеграл диференціального рівняння (45).

Таким чином, при таких припущеннях інтегральні криві диференціального рівняння (45) є системою прямих ліній, які можна записати у вигляді (48). При цьому в (48) можуть входити комплексні розв’язки диференціального рівняння.

Приклад 5. Розв’язати диференціальне рівняння

.

Розв'язання. Згідно (48) – загальний інтеграл. Однак у нього, крім дійсного розв’язку , входять розв’язки комплексних диференціальних рівнянь .

---

б) Диференціальні рівняння, які не містять шуканої функції.

Такі рівняння мають вигляд

. (49)

Якщо (49) можна розв’язати відносно похідної

, (50)

то

(51)

є загальним інтегралом диференціального рівняння (49).

Якщо ж розв’язати відносно не можна, а допускається параметризація

, (52)

тобто

. (53)

Тоді загальний розв’язок знаходять в параметричній формі

. (54)

Якщо диференціальне рівняння (49) має вигляд

, (55)

тоді це рівняння легко параметризується . В частинному випадку . Загальний розв’язок запишеться в формі

. (56)

Приклад 6. Зайти загальний розв’язок рівняння

.

Розв'язання. Вводимо параметризацію , тоді

, , .

Маємо

– загальний розв’язок в параметричній формі.

в) Диференціальні рівняння, які не містять незалежної змінної.

Це рівняння вигляду

. (57)

---

Якщо рівняння (3.57) розв’язане відносно , тобто

, (58)

то

(59)

є загальним інтегралом диференціального рівняння (57). Особливими розв’язками можуть бути криві , де – корені рівняння (або ).

Якщо не можна диференціальне рівняння (57) розв’язати відносно , але воно допускає параметризацію

, (60)

то

(61)

– загальний розв’язок диференціального рівняння (57) в параметричній формі.

Приклад 3.7. Розв’язати диференціальне рівняння

.

Розв'язання. Введемо параметризацію ,

.

Звідки

– загальний розв’язок нашого рівняння в параметричній формі.

г) Узагальнено однорідні рівняння.

Диференціальне рівняння назвемо узагальнено однорідним, якщо ліва частина є однорідною функцією аргументів , яким відповідають величини -го, -го і виміру, тобто

. (62)

Зробимо заміну

, (63)

---

де – нова незалежна змінна, – нова шукана функція. Маємо

.

Тобто . З іншої сторони

(64)

Підставимо (63),(64) в диференціальне рівняння (1)

.

Отримане рівняння

(65)

не містить незалежної змінної .

Домашнє завдання: [2], стор. 68-75, [3], §8, стор.34-37, №№ 287, 288, 293, стор. 39.

---

Смотрите также файлы

• лекция № 7.doc

• лекция № 6.doc

• лекция № 5.doc

• лекция № 4.doc

• лекция № 3.doc