Файл: R2.doc

Якщо функція диференційовна і задовольняє (2.13), то вона задовольняє умові Ліпшіца, з L=K.

Функція може зодовольняти умові Ліпшіца, але не бути диференційовною і, отже, не буде задовольняти (2.13). Наприклад, .

3. Поняття загального розв’язку, форми його запису

На прикладах можна переконатися, що диференціальне рівняння (2.3) має нескінченну множину розв’язків, яка залежить від деякого параметру с

(2.16)

Це сімейство і називається загальним розв’язком диференціального рівняння (2.3). При кожномус (2.16) дає інтегральну криву.

Для розв’язування задачі Коші (2.3), (2.11) параметр с можна знайти з рівняння .

Дамо точне визначення загального розв’язку. Припустимо, що на D виконуються умови теореми Пікара.

Означення 2.8. Функцію

(2.17)

визначену в деякій області змінних х і с, і яка має неперервну частинну похідну за х будемо називати загальним розв’язком диференціального рівняння (2.3) в області D, якщо рівняння (2.17) можна розвязати відносно с в області D

(2.18)

і функція (2.17) є розв’язком диференціального рівняння (2.3) при всіх значеннях довільної сталої с, які визначаються формулою (2.18), коли .

Суть означення 2.8 в наступному. Припустимо, що задано сімейство кривих F на області D, яке залежить від одного параметра . Якщо будь-яка крива ізF є інтегральною кривою диференціального рівняння (2.3) і всі криві із F в сукупності покривають D, то F є розв’язком диференціального рівняння (2.3) в області D (мал. 2.3).

Мал. 2.3

Для розв’язування задачі Коші константу можна знайти згідно (2.18)

---

.

Інколи в формулі (2.17) роль граєу₀, тоді говорять, що розв’язок представлений у формі Коші

. (2.19)

Приклад 2.2. Знайти розв’язок диференціального рівняння

у формі Коші.

Розв’язання. Загальний розв’язок В указаній області виконуються умови теореми Пікара. Звідки– розв’язок в формі Коші.

В більшості випадків при інтегруванні диференціального рівняння (2.3) ми отримуємо загальний розв’язок в неявній формі

(або , (2.20)

який називається загальним інтегралом диференціального рівняння (2.3).

Означення 2.9. Будемо називати співвідношення (2.20) загальним розв’язком в неявній формі або загальним інтегралом в області D, якщо співвідношенням (2.20) визначається загальний розв’язок (2.17) диференціального рівняння (2.3) в області D.

З означення випливає, що (2.18) - загальний інтеграл диференціального рівняння (2.3) в області D.

Інколи при інтегруванні отримуємо сімейство інтегральних кривих, залежне від , в параметричній формі.

(2.21)

Таке сімейство інтегральних кривих будемо називати загальним розв’язком диференціального рівняння (2.3) в параметричній формі.

Якщо в (2.21) виключити t, то отримаємо загальний розв’язок в неявній або явній формі.

---

4. Частинні і особливі розв’язки. Знаходження кривих, підозрілих на особливість розв’язку, по диференціальному рівнянню

Означення 2.10. Розв’язок, який складається з точок єдиності розв’язку задачі Коші називається частинним і його можна отримати з загального при фіксованому .

Розв’язок задачі Коші, який задовольняє теоремі Пікара, є частинний розв’язок.

Означення 2.11. Розв’язок, в кожній точці якого порушується єдиність розв’язку задачі Коші, будемо називати особливим.

Геометрично особливому розв’язку відповідають інтегральні криві, які не містяться в загальному розв’язку. Тому особливий розв’язок не може існувати всередині області D існування загального розв’язку. Його не можна отримати з формули загального розв’язку ні при яких числових значеннях , включаючи . Його можна отримати з загального розв’язку лише при .

Існують ні частинні ні особливі розв’язки. Їх можна отримати шляхом склеювання кусків частинних і особливих розв’язків.

N₁

Мал. 2.4

Приклад 2.2. Знайти особливий розв’язок диференціального рівняння

.

Розв’язання. При маємо.

Отримали загальний розв’язок в області , в якій виконуються умови теореми Пікара. Але розв’язком буде , який ми отримуємо при. Він не міститься в загальному розв’язку при жодному фіксованому . Отже, згідно означення – особливий розв’язок.

---

Якщо неперервна наD, то умови підозрілі на особливий розв’язок – необмеженість похідної . Знайшовши таку криву в подальшому треба переконатися :

1.  вона є інтегральною кривою;

2.  перевірити, що в кожній її точці порушується єдиність розв’язку.

В прикладі 2.2. при. Оскільки– розв’язок і через нього проходять інтегральні криві з загального розв’язку, то - особливий розв’язок.

Приклад 2.3. Розглянемо диференціальне рівняння

Розв’язання. Знайдемо при . Очевидно, щопри. Алене є розв’язком диференціального рівняння, тому і не є особливим розв’язком.

Припустимо, що диференціальне рівняння має однопараметричне сімейство інтегральних кривих . Нехай це сімейство має обвідну, тобто лінію, яка в кожній точці дотикається сімейства і ні на якому участку не співпадає ні з одною кривою сімейства. Тоді ця обвідна і буде особливим розв’язком. Дійсно через довільну її точку проходить по крайній мірі два розв’язки : обвідна і сам розв’язок.

5. Два означення інтегралу. Теореми про загальний вигляд інтегралу та залежність двох інтегралів одного диференціального рівняння

Нехай

(2.22)

загальний розв’язок диференціального рівняння (2.3) в області D, в якій виконуються умови теореми Пікара. Тоді на D рівняння (2.22) можна розв’язати відносно

---

. (2.23)

Функція приймає постійні значення на довільному частинному розв’язку з D, причому значення постійної визначається частинним розв’язком

. (2.24)

Означення 2.12 (перше означення інтегралу). Функція , визначена наD і яка не зводиться до константи, називається інтегралом диференціального рівняння (2.3) в області D, якщо на довільному частинному розв’язку з D ця функція приймає постійні значення.

Припустимо, що - диференційовна функція. Тоді на довільному частинному розв’язку

, (2.25)

або

. (2.26)

При цьому наD, так як в противному . А це означає, що поле диференціального рівняння (2.3) в відповідній точці не задано.

Означення 2.13 (друге означення інтегралу). Функція , визначена і неперервна з частинними похідними в областіD і така, що в областіD, називається інтегралом диференціального рівняння (2.3) в області D, якщо повний її диференціал, взятий в силу диференціального рівняння (2.3), тотожно дорівнює нулю в області D.

З (2.26) випливає, що

. (2.27)

Функція, яка є інтегралом в смислі означення 2.12 буде інтегралом і в смислі означення 2.13. Навпаки не завжди так.

Якщо диференціальне рівняння (2.3) має один інтеграл, то воно має безліч інтегралів.

Теорема 2.1 (про загальний вигляд інтегралу). Якщо інтеграл диференціального рівняння (2.3) в областіD і функція диференційовна вD, а - довільна функція визначена і неперервно-диференційовна в області зміни функціїколи, то

---