Файл: R2.doc

. (2.46)

Аналогічно записуємо

(2.47)

– загальний розвязок диференціального рівняння (2.45) і

(2.48)

–розвязок задачі Коші (2.36), (2.45). При діленні на ми можемо загубити розвязки, які визначаються рівняннями ,. Дійсно, нехай, то

отже – розвязок диференціального рівняння (2.45). Аналогічно . Якщо ці розвязки не входять в (2.47) при деяких , то вони представляють собою особливі розвязки диференціального рівняння (2.45).

З розвязку ми повинні виключити точку, так як в точцідиференціальне рівняння (2.45) не визначає нахил поля. По тій же причині з розвязкувиключається точка.

Таким чином, розвязки іпримикають до точкиі можуть бути особливими. Других особливих розвязків не має.

Приклад 2.7. Знайти загальний розвязок диференціального рівняння

.

---

Розвязання. Розділяючи змінні отримаємо

.

Оскільки , то задане рівняння перепишемо в такому вигляді

.

Отже ,,

.

Очевидно, що є частинним розв'язком нашого рівняння і його треба додати до отриманого загального розв'язку.

в) Однорідні і узагальнено-однорідні диференціальні рівняння.

Розглянемо рівняння в диференціалах (2.5), в якому функції іє однорідними функціями однієї і тієї ж степені однорідності.

Означення 2.14. Функція називається однорідною функцією виміру, якщо

. (2.49)

Якщо (2.49) виконуються при , то функціяназивається додатньо однорідною.

Однорідне рівняння завжди можна звести до рівняння вигляду

, (2.50)

в якому функція однорідна функція нульового виміру.

Однорідні рівняння завжди інтегруються в квадратурах заміною

. (2.51)

При цьому рівняння (2.5) приводиться до рівняння з відокремлюваними змінними. Дійсно

,

---

,

,

,

, ,

, (2.52)

де .

При відокремленні змінних ми могли загубити розвязки , де- корені рівняння

. (2.53)

Отже півпрямі примикають до початку координат. Ці розвязки можуть міститися в формулі загального розвязку, але можуть бути і особливими. Особливими можуть бути також півосі осі . Других особливих розвязків диференціальне рівняння (2.5) не має.

Рівняння вигляду

(2.54)

зводиться до однорідного. Якщо , то це однорідне рівняння.

Припустимо, що хоч одне з чисел не дорівнюють 0. Можливі два випадки.

Перший – Проводимо заміну

, (2.55)

де – нові змінні,– параметри. Тоді

. (2.56)

Параметри вибираємо згідно системи

. (2.57)

---

Так як , то система (2.57) має єдиний розвязок. Таким чином, ми прийшли до однорідного диференціального рівняння

. (2.58)

Другий – . В цьому випадку, тобто. Тому

. (2.59)

Заміною диференціальне рівняння (2.59) приводимо до рівняння з відокремленими змінними

. (2.60)

Приклад 2.8. Знайти загальний розвязок диференціального рівняння

.

Розв'язання. Це однорідне рівняння, . Зробимо заміну

,

, .

Отже, – загальний розвязок нашого рівняння.

Диференціальне рівняння (2.5) називається узагальнено-однорідним, якщо існує таке число , при якому ліва частина цього диференціального рівняння стає однорідною функцією від величинв припущенні, що останні мають відповідно виміри: перший,-ий, нульовий ,-ий. Примаємо просто однорідне рівняння.

В цьому випадку диференціальне рівняння (2.5) заміною

---

(2.61)

зводиться до рівняння з відокремлюваними змінними. При рівняння (2.5) є рівнянням з розділеними змінними. Особливі розвязки таких рівнянь досліджуються аналогічно.

Приклад 2.8. Розвязати узагальнено-однорідне диференціальне рівняння

.

Розв'язання. Знайдемо число для даного випадку

.

Отже

, ,

Звідки

– загальний розвязок нашого рівняння, записаний в квадратурах.

г) Лінійні рівняння першого порядку.

Диференціальне рівняння вигляду

(2.62)

називається лінійним диференціальним рівнянням першого порядку.

При воно називається однорідним

(2.63)

так як його ліва частина лінійна і однорідна відносно і. Рівняння (2.62) приназивається неоднорідним. Диференціальне рівняння (2.63) інтегрується в квадратурах, так як воно являється диференціальним рівнянням з відокремлюваними змінними

.

Звідки

. (2.64)

Якщо то

---