Файл: R2.doc

(2.28)

є інтегралом диференціального рівняння (2.3) в області D.

Доведення. Обчислимо та

,

причому в областіD. Маємо

(2.29)

оскільки , так як– інтеграл диференціального рівняння (2.3). З (2.29) випливає, що- інтеграл диференціального рівняння (2.3) згідно означення.

Теорема 2.2 (про залежність двох інтегралів). Нехай – два інтеграли диференціального рівняння (2.3). Тоді існує неперервно диференційовна функціяF така, що

. (2.30)

Доведення. Оскільки інтеграли, то

. (2.31)

З (2.31) випливає, що

. (2.32)

З функціонального аналізу відомо, що з умови (2.32) випливає (2.30).

Приклад 2.4. Обчислити повний диференціал функції на розв'язках диференціального рівняння

.

Розв'язання. Згідно (2.25), (2.26) маємо

.

Приклад 2.5. Перевірити, чи є інтегралом диференціального рівняння.

---

Розв'язання. Дійсно,

.

---

2.6. Інтегровні типи диференціальних рівнянь першого порядку, розвязаних відносно похідної

Неповні рівняння.

а) Диференціальне рівняння, яке не містить шуканої функції

має вигляд

, . (2.33)

Припустимо, що f(x) являється неперервною функцією на . Тоді функція

(2.34)

є загальним розв`язком диференціального рівняння (2.33) в області

a < x < b, -< y < +.(2.35)

Особливих розв’язків диференціальне рівняння (2.33) не має.

Разом з диференціальним рівнянням (2.33) розглянемо початкові умови

.(2.36)

Проінтегруємо диференціальне рівняння (2.34) від доx

.

Знаходимо с з умови (2.36)

(2.37)

– загальний розвязок диференціального рівняння (2.33) в формі Коші.

Якщо f(x) – неперервна на за виключенням точки, в якійприймає нескінченне значення, то замість диференціального рівняння (2.33) будемо розглядати рівняння

. (2.33^)

Пряма є розвязком диференціального рівняння (2.33^) і ми цей розвязок повинні приєднати до розвязку диференціального рівняння (2.33). Цей розвязок може бути частинним або особливим в залежності від того зберігається чи порушується в будь-якій його точці єдиність. Якщо – частинний розвязок, то його часто можна отримати з загального при нескінченних значеннях с, якщо ж він є особливим, то його отримують з загального при .

---

Рівняння, яке не містить незалежної змінної має вигляд

. (2.38)

Припускаємо, що функція визначена і неперервна на інтервалі. Замість (2.38) розглянемо диференціальне рівняння

. (2.39)

Диференціальне рівняння (2.39) не містить шуканої функції і воно розвязується аналогічно диференціальному рівнянню (2.33).

Якщо ,y є (c,d), то

(2.40)

– загальний розвязок диференціального рівняння (2.39) в області

c < y < d, -< x < +.

Аналогічно

(2.41)

– загальний інтеграл в формі Коші.

Якщо неперервна на(c,d) і приймає нульове значення при , то ми повинні розглядати диференціальне рівняння (2.38). Розвязок буде частинним, якщо в кожній його точці зберігається єдиність і особливим, якщо в кожній його точці порушується єдиність. Якщочастинний розвязок, то ми його отримуємо при нескінченних значеннях , якщо особливий, то при.

Якщов точціперетворюється в нескінченність, то розглядаємо диференціальне рівняння (2.39), яке має неперервну праву частину на(c,d). При цьому диференціальне рівняння на має єдиний розвязок (мал. 2.5).

---

Мал. 2.5

Приклад 2.6. Розвязати диференціальне рівняння

.

Розв'язання. Область визначення . Оскільки в точцідотичні паралельні осіOY, то розвязок в площині єдиний

, .

б) Рівняння з відокремлюваними змінними.

Розглянемо рівняння в диференціалах виду

, (2.42)

де – неперервні функції своїх аргументів.

Диференціальне рівняння (2.42) називається рівнянням з відокремленими змінними. Його можна переписати таким чином

.

Звідки маємо загальний розвязок в квадратурах

. (2.43)

Якщо треба записати розвязок задачі Коші, то записують так

.

З умови (2.36) визначають . Отже

(2.44)

– розвязок задачі Коші (2.36), (2.42). При даних припущеннях особливих розвязків диференціальне рівняння (2.42) не має.

Рівняння вигляду

(2.45)

називають рівнянням з відокремлюваними змінними.

Припустимо, що , тоді розділимо обидві частини рівняння (2.45) на, отримаємо

---