Файл: ДР - ПРОГРАМА 2012.docx

Успішне оволодіння студентами навчальною дисципліною «Диференціальні рівняння» дозволяє ґрунтовно опрацьовувати такі дисципліни, як «Чисельні методи» ПП3.01, «Методи оптимізації» ПП3.02, «Рівняння математичної фізики» МПН2.09; «Теорія систем та керування» ПП3.04, «Моделювання виробничих та економічних процесів» ПП3.03, «Теорія ймовірностей та математична статистика» МПН2.07, застосовувати знання та вміння при розв’язанні практичних реальних задач за спеціальністю.

Мета дисципліни: формування системи знань, вмінь і навичок для успішного їх використання у майбутній практично-науковій фаховій діяльності.

До програми додається перелік умінь та рекомендованої літератури.

Програма складена на основі Галузевого стандарту освіти України 2009 року і розрахована на 162 години.

Згідно з «Положенням про організацію навчального процесу у вищих навчальних закладах», затвердженим наказом Міністерства освіти України від 02.06.93 № 161 та документом «Організація заочної форми навчання у закладах освіти І та ІІ рівнів акредитації», розробленим Науково-методичним центром вищої освіти Міністерства освіти і науки України у 2000 році, загальний обсяг годин складається з кількості годин за ОПП (з врахуванням годин з відповідного циклу вибіркової частини), з яких 96 годин відводиться на аудиторне навчання, з них 32 години – на практичну підготовку студентів, та 66 годин на самостійну роботу студентів. Дисципліна «Диференціальні рівняння» вивчається протягом п’ятого семестру.

З метою контролю знань студентів програмою передбачається складання іспиту (V семестр).

До програми додається тематичний план з мінімальним розподілом годин відповідно до ГСВОУ «Галузевий стандарт вищої освіти України. Освітньо-професійна програма» (ОПП).

---

Основні поняття

Математичне моделювання і диференціальні рівняння. Диференціальні рівняння 1-го порядку, розв'язані та не розв'язані відносно похідної. Рівняння з розділеними змінними. Звичайне однорідне рівняння першого порядку. Звичайне лінійне рівняння першого порядку. Звичайне рівняння Бернуллі. Рівняння Клеро. Рівняння Лагранжа. Рівняння Ейлера. Рівняння в повних диференціалах. Інтегрувальний множник. Поняття загального, частинного та особливого розв'язків. Задача Коші, початкові умови. Звичайні диференціальні рівняння вищих порядків. Лінійні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами n-го порядку. Однорідні, неоднорідні рівняння порядку n зі сталими коефіцієнтами. Загальні розв’язки однорідного та неоднорідного рівняння, часткові розв'язки. Фундаментальна система розв’язків. Характеристичне рівняння, характеристичні корені. Система однорідних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами. Система неоднорідних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами. Інтегрування диференціального рівняння за допомогою ступеневого ряду.

8. Орієнтовний тематичний план.

Назва блоку змістовних модулів, що входить до навчальної дисципліни	Шифр блоку змістовних модулів, що входить до навчальної дисципліни	Назва змістовних модулів	Шифри змістовних модулів, що входять до блоку змістовних модулів	Кількість годин
				Всього за ОПП		Практичне навчання в т.ч.
Звичайні диференціальні рівняння	МПН2.05.01	Диференціальні рівняння першого порядку	КЗН-02. ПР.О.04.01	48		10
		Диференціальні рівняння вищих порядків	КЗН-02. ПР.О.04.02	14		4
Всього годин по змістовному блоку					62		14
Лінійні диференціальні рівняння	МПН2.05.02	Диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами	КЗН-02. ПР.О.04.03	42		8
		Системи лінійних диференціальних рівнянь	КЗН-02. ПР.О.04.05	46		8
		Інтегрування за допомогою степеневих рядів	КЗН-02. ПР.О.04.04	12		2
Всього годин по змістовному блоку					100		18
Всього годин за ООП					162		32

---

9. Зміст програми з визначенням блоків та змістовних модулів та вимоги до результатів навчання. Назва та шифр блоку: мпн2.05.01 Звичайні диференціальні рівняння.

Змістовний модуль КЗН-02.ПР.О.04.01 Диференціальні рівняння першого порядку.

Визначення диференціального рівняння. Порядок рівняння, загальний інтеграл. Постановка задачі Коші для диференціального рівняння першого порядку. Існування та одиничність розв’язку задачі Коші. Методи розв’язання диференціальних рівнянь першого порядку. Рівняння з розділеними змінними. Однорідні рівняння першого порядку. Лінійні рівняння першого порядку. Рівняння Бернуллі. Рівняння в повних диференціалах. Інтегрувальний множник. Рівняння першого порядку, не розв’язані відносно похідної Рівняння Лагранжа та Клеро. Методи розв’язання задач за допомогою диференціальних рівнянь першого порядку.

Після вивчення модуля «Диференціальні рівняння першого порядку» студенти повинні знати:

• Визначення диференціального рівняння, порядку диференціального рівняння, загального інтегралу, інтегральної кривої диференціального рівняння, частинного та особливого розв’язків диференціального рівняння.

• Визначення типів звичайних диференціальних рівнянь першого порядку: з розділяючимися змінними; однорідного; лінійного; рівняння Бернуллі; в повних диференціалах; не розв’язаних відносно похідної, зокрема рівнянь Лагранжа та Клеро.

• Визначення та постановку початкових умов Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку. Теорему про існування та одиничність розв’язку задачі Коші для звичайного диференціального рівняння.

• Методи розв’язання основних типів звичайних диференціальних рівнянь першого порядку. Метод розв’язання задачі Коші для рівняння першого порядку.

• Методи складання математичних моделей до текстових задач за допомогою звичайних диференціальних рівнянь першого порядку.

Вміти:

• Визначати тип звичайного диференціального рівняння першого порядку.

• Застосовувати відповідні методи розв’язання до звичайного диференціального рівняння першого порядку визначеного типу. Знаходити особливі розв’язки рівняння. Виділяти частинні розв’язки з загального інтегралу рівняння, що відповідають умовам Коші.

• Складати диференціальні рівняння за текстовими задачами, ставити відповідні початкові умови до отриманого рівняння.

---

Змістовний модуль КЗН-02. ПР.О.04.02 Диференціальні рівняння вищих порядків.

Диференціальні рівняння вищих порядків. Постановка задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь другого, третього порядків. Існування та одиничність розв’язку задачі Коші для звичайного диференціального рівняння вищих порядків. Заміна змінної в диференціальному рівнянні другого, третього порядків. Методи розв’язання рівнянь вищих порядків виду .

Після вивчення модуля «Диференціальні рівняння вищих порядків» студенти повинні знати:

• Визначення основних типів звичайних диференціальних рівнянь другого, третього порядків. Визначення та постановку задачі Коші для звичайного диференціального рівняння другого, третього порядку.

• Методи розв’язання основних видів звичайних диференціальних рівнянь другого, третього порядків.

Вміти:

• Визначати тип звичайного диференціального рівняння вищого порядку.

• Розв’язувати звичайне диференціальне рівняння вищого (другого, третього) порядку методом, обраним відповідно до типу рівняння.

• Знаходити особливі розв’язки рівняння; ставити початкові умови (умови Коші) до рівняння вищого (другого, третього) порядків, виділяти частинні розв’язки з загального інтегралу рівняння відповідно до умов Коші.

---

Назва та шифр блоку: мпн2.05.02 Лінійні диференціальні рівняння.

Змістовний модуль КЗН-02.ПР.О.04.03 Диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами.

Диференціальні багаточлени та загальний метод розв’язання лінійних рівнянь зі сталими коефіцієнтами. Лінійні однорідні рівняння порядку n зі сталими коефіцієнтами. Деякі диференціальні рівняння, що зводяться до лінійних однорідних рівнянь зі сталими коефіцієнтами. Рівняння Ейлера. Лінійні неоднорідні рівняння порядку n зі сталими коефіцієнтами із спеціальною правою частиною. Метод варіації сталих розв'язання лінійних неоднорідних рівнянь зі сталими коефіцієнтами.

Після вивчення модуля «Диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами» студенти повинні знати:

• Визначення звичайного диференціального рівняння порядку n зі сталими коефіцієнтами, визначення загального розв’язку, фундаментальної системи розв’язків відповідного рівняння. Визначення однорідного та неоднорідного рівняння порядку n зі сталими коефіцієнтами. Визначення неоднорідного рівняння зі сталими коефіцієнтами зі спеціальною правою частиною. Визначення рівняння Ейлера.

• Визначення характеристичного рівняння, принцип суперпозиції для лінійного однорідного рівняння, теорему про розв’язки лінійного однорідного рівняння порядку n зі сталими коефіцієнтами.

• Загальний метод розв’язання лінійних однорідних рівнянь порядку n зі сталими коефіцієнтами. Метод розв’язання рівняння Ейлера.

• Методи знаходження частинних розв’язків для неоднорідного рівняння порядку n зі спеціальною правою частиною, теорему існування та одиничності, принцип суперпозиції для лінійного неоднорідного рівняння зі спеціальною правою частиною.

• Метод варіації сталих для знаходження частинного розв’язку лінійного неоднорідного рівняння порядку n зі сталими коефіцієнтами.

Вміти:

• Будувати характеристичне рівняння, знаходити характеристичні корені, будувати фундаментальну систему розв’язків відповідно до знайдених характеристичних коренів, будувати загальний розв’язок для однорідного диференціального рівняння порядку n зі сталими коефіцієнтами.

• Знаходити частинні розв’язки для неоднорідного рівняння порядку n зі сталими коефіцієнтами зі спеціальною правою частиною, будувати загальний розв’язок неоднорідного рівняння.

• Знаходити частинні розв’язки для неоднорідного рівняння порядку n зі сталими коефіцієнтами методом варіації сталих, будувати загальний розв’язок неоднорідного рівняння.

---