ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.07.2025
Просмотров: 565
Скачиваний: 0
Задача Д3
Тонкий гладкий стержень, расположенный в вертикальной плоскости, изогнут так, что состоит из прямолинейного участка и двух дуг окружностей радиуса R = 0,5 м, r = 0,6R, сопряженных в точке (рис. ДЗ.0 - Д3.9, табл. ДЗ). На стержень
нанизан шар весом P, прикрепленный к пружине с коэффициентом жесткости c = k PR ,
другой конец пружины закреплен в точке О. Длина пружины в недеформированном состоянии равна l0 . Шар начинает двигаться без начальной скорости из положения
B0 , определяемого углом α (при α = 90° считать шар чуть смещенным от равновесного положения); достигнув точки B1 , указанной на рисунке, шар
освобождается от пружины и дальше движется под действием только силы тяжести. Считая шар материальной точкой, определить, какую скорость он будет иметь, придя в точку D, и с какой силой будет давить на стержень в этой точке (силу давления выразить через вес Р шара). Положение точки D, когда она находится на дуге радиуса R, определяется углом β , а на дуге радиуса r - углом . На рис. 0 и 3 B1 произвольная
точка дуги ED.
Указания. Задача ДЗ - на применение теоремы об изменении кинетической энергии точки. Решая задачу, учесть, что теорему можно применить сразу на всем перемещении, совершаемом шаром от начального положения до положения, в котором надо определить его скорость. Когда скорость будет найдена, для определения силы давления шара на стержень изобразить шар в том положении, в котором эту силу надо определить, и составить уравнение движения в проекции на нормаль к траектории, направленную к центру соответствующей окружности, т. е.
уравнение mv2 / ρ = åFkn .
Таблица Д3
№ |
Для рис. 0-3 |
Для рис. 4-9 |
||||||||||||
усл. |
||||||||||||||
l0 |
k |
α 0 |
β 0 |
γ 0 |
l0 |
k |
α 0 |
β 0 |
γ 0 |
|||||
0 |
0,8R |
8 |
30 |
45 |
- |
2,8R |
8 |
45 |
60 |
- |
||||
1 |
0,8R |
36 |
45 |
- |
60 |
2,4R |
6 |
90 |
- |
60 |
||||
2 |
0,4R |
15 |
60 |
90 |
- |
2,2R |
12 |
60 |
30 |
- |
||||
3 |
0,7R |
6 |
30 |
- |
0 |
2,8R |
4 |
90 |
- |
30 |
||||
4 |
0,6R |
12 |
45 |
90 |
- |
2,4R |
6 |
60 |
90 |
- |
||||
5 |
0,4R |
10 |
45 |
- |
30 |
2,6R |
10 |
45 |
- |
0 |
||||
6 |
0,7R |
50 |
60 |
30 |
- |
2,2R |
10 |
90 |
45 |
- |
||||
7 |
0,9R |
12 |
30 |
- |
90 |
2,5R |
8 |
60 |
- |
45 |
||||
8 |
0,7R |
20 |
45 |
60 |
- |
2,6R |
5 |
90 |
60 |
- |
||||
9 |
0,6R |
30 |
60 |
- |
45 |
3R |
5 |
45 |
- |
90 |
||||
33 |
||||||||||||||
B0 |
E |
B1 |
D |
||||
α |
B1 |
O |
|||||
C |
O |
R |
/ 2 |
C |
β C1 |
γ |
K |
β R |
α |
r |
|||||
r |
C1 |
D |
D |
||||
γ |
|||||||
B0 |
|||||||
D |
|||||||
K |
|||||||
Рис. Д3.0 |
Рис. Д3.1 |
||||||
K |
D |
|||||||||
D |
γ |
B0 |
||||||||
C1 |
r |
D |
||||||||
R |
||||||||||
B1 |
O β |
C |
K |
γ r |
O |
α |
E |
|||
C1 |
C |
|||||||||
R / 2 |
R |
β |
B1 |
|||||||
α |
B0 |
D |
||||||||
Рис. Д3.2 |
Рис. Д3.3 |
B |
B0 |
|||||
1 |
D |
B1 |
||||
β |
R |
30 0 |
α O |
|||
C1 |
K |
C |
||||
B0 |
C |
r |
γ |
β |
C |
|
D |
R |
1 |
||||
α |
R |
γ |
r |
|||
O |
D |
|||||
D |
||||||
K |
R |
Рис. Д3.4 |
Рис. Д3.5 |
34
K
D
r γ C1 R D
O |
R |
β |
B1 |
C |
α B0
Рис. Д3.6
B1
D
βR
C |
C1 |
γ r |
K |
||
B0 |
|||||
D |
|||||
α |
3R / 2 |
O |
= |
3 |
R |
O |
|||||
C |
2 |
||||
Рис. Д3.8
O |
|||
α |
B0 |
||
D |
|||
R |
|||
K γ r |
|||
C |
|||
C1 |
300 |
||
R β |
B1 |
||
D
Рис. Д3.7
O |
OC = |
3 |
R |
|
α |
3R / 2 |
2 |
||
B0 |
||||
D |
||||
B1 |
C |
rγ |
K |
|
β |
C1 |
|||
R |
||||
D
Рис. Д3.9
Пример Д3. Шар весом Р нанизан на расположенный в вертикальной плоскости гладкий стержень, который изогнут так, что состоит из прямолинейного участка и окружности радиуса R = 0,6 м. Шар прикреплен к пружине с коэффициентом
жесткости c = k PR . Другой конец пружины закреплен в точке О. Длина пружины в
недеформированном состоянии равна l0 . Шар начинает двигаться без начальной
скорости из положения В0, определяемого углом α ; достигнув точки В1, указанной на рисунке, шар освобождается от пружины и дальше движется под действием только силы тяжести. Считая шар материальной точкой, определить, какую скорость он будет иметь, придя в точку D, и с какой силой будет давить на стержень в этой точке (силу давления выразить через вес Р шара) .
Дано: Р, R = 0,6 м, l0 = 1,2R , c = k |
P |
, = 10, v0 = 0 , |
α = 60 0 |
, β = 300 . |
|
Определить: 1. |
R |
||||
vD - скорость шара в точке D; |
|||||
2. |
ND - силу давления шара на стержень в точке D. |
||||
35
Решение. |
Для |
определения |
v |
D |
рассмотрим |
шар в произвольном положении. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Изобразим действующие на него силы: |
(сила тяжести), |
(реакция стержня), |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
P |
F |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
N |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(сила упругости пружины, действующая на участке |
B0 B1 ) |
и применим теорему об |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
изменении кинетической энергии точки на участке B0 D . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
mv2 |
mvB2 |
(1) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
- |
0 |
= A(P ) + A(N ) + A(F ) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
D |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A( |
) = 0 , |
т. |
к. сила |
перпендикулярна |
перемещению. A( |
) = P × h , |
где |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
N |
P |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
N |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
h = R × tgα + R cos β и A( |
) = 1,56P . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
P |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
B 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
h |
O |
α |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
F |
N |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
R |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
N |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
D |
B1 |
P |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
P |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Рис. Д3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Работа силы упругости F на перемещении B0 B1 определяется по формуле:
A( |
) = |
c |
(λ2 |
− λ2 ) = |
kP |
(λ2 |
− λ2 ) , |
(2) |
|||||||||
F |
|||||||||||||||||
2 |
0 |
1 |
2R |
0 |
1 |
||||||||||||
где λ0 и λ1 - начальное и конечное удлинение пружины: |
|||||||||||||||||
= O |
= |
1,2R = 0,8R; |
λ1 |
= OB1 − l0 |
= R −1,2R = −0,2R . |
||||||||||||
=10 равенство (2) дает результат – A(F ) = 1,8P |
|||||||||||||||||
При |
− |
− |
. |
||||||||||||||
Подставляя найденные значения работ в уравнение (1), и учитывая, что v0 = 0 , а m = Pg , определим из него искомую скорость vD : vD = 65,8 = 8,1 м/с.
Для определения искомой силы давления рассмотрим шар в точке D и приложим
к нему силу тяжести |
и реакцию |
. Основное уравнение динамики ma = |
+ |
|||||||||||||
P |
||||||||||||||||
N |
P |
N |
||||||||||||||
спроектируем на нормальную ось, проведенную из точки D к центру О. |
||||||||||||||||
man = ND - P cos β , an = |
vD2 |
|||||||||||||||
R |
||||||||||||||||
vD2 |
||||||||||||||||
m |
= ND - P cos β |
|||||||||||||||
Откуда |
R |
|||||||||||||||
N D = |
mvD2 |
+ P cos β , ND = 12P Н |
||||||||||||||
R |
||||||||||||||||
Сила давления |
шара на стержень численно равна ND , но направлена в |
|||||||||||||||
противоположную сторону. Ответ: vD = 8,1 м/с, ND = 12P Н.
36
Задача Д 4 |
1 |
2 |
|||||
Механическая система состоит из грузов |
и |
(коэффициент трения грузов о |
|||||
плоскость = 0,1), цилиндрического сплошного |
ступенчатых |
||||||
однородного катка 3 и |
|||||||
шкивов 4 и 5 с радиусами ступеней |
= 0,3 м, |
= 0,1 м, |
= 0,2 м, = 0,1 м (массу |
||||
каждого шкива считать равномерно |
распределенной |
по его внешнему ободу) |
|||||
(рисунки Д4.0 – Д4.9, таблица Д4). Тела системы соединены друг с другом нитями, намотанными на шкивы; участки нитей параллельны соответствующим плоскостям.
Под действием силы = (s), зависящей от перемещения точки приложения силы, система приходит в движение из состояния покоя. При движении системы на шкивы 4 и 5 действуют постоянные моменты сил сопротивлений, равные
соответственно |
и |
. |
Определить значение искомой величины в тот момент |
|||||
времени, когда перемещение точки приложения силы |
равно . Искомая величина |
|||||||
указана в столбце “ Найти “ таблицы, где обозначено: |
- скорость груза 1, |
- |
||||||
скорость центра масс катка |
, |
- угловая скорость тела 4 и т. д. |
||||||
Указания. |
Задача Д |
4 - на применение теоремы об изменении кинетической |
||||||
3 |
||||||||
энергии системы. При решении задачи учесть, что кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий всех тел, входящих в систему: эту энергию нужно выразить через ту скорость (линейную или угловую3 ), которую нужно определить. При вычислении кинетической энергии катка , который совершает плоское движение, для установления зависимости между его угловой скоростью и скоростью
центра масс катка нужно воспользоваться понятием о мгновенном центре скоростей (кинематика). При определении работы сил все перемещения следует выразить через заданное перемещение , учтя, что зависимость между перемещениями будет такой
же, как между соответствующими скоростями. Когда по данным таблицы |
= 0, груз |
||||||||||||
2 на чертеже не изображать; шкивы 4 и 5 всегда входят в систему. |
|||||||||||||
Таблица Д4 |
|||||||||||||
Номер |
, |
, |
, |
, |
, |
, |
, |
F = (s), |
, |
Найти |
|||
услов. |
кг |
кг |
кг |
кг |
кг |
Н м |
Н м |
Н |
м |
||||
0 |
2 |
0 |
4 |
6 |
0 |
0∙ |
0,8∙ |
50 (2 + 3s) |
1,0 |
||||
1 |
6 |
0 |
2 |
0 |
8 |
0,6 |
0 |
20 (5 + 2s) |
1,2 |
||||
2 |
0 |
4 |
6 |
8 |
0 |
0 |
0,4 |
80 (3 + 4s) |
0,8 |
||||
3 |
0 |
2 |
4 |
0 |
10 |
0,3 |
0 |
40 (4 + 5s) |
0,6 |
||||
4 |
8 |
0 |
2 |
6 |
0 |
0 |
0,6 |
30 (3 + 2s) |
1,4 |
||||
5 |
8 |
0 |
4 |
0 |
6 |
0,9 |
0 |
40 (3 + 5s) |
1,6 |
||||
6 |
0 |
6 |
2 |
8 |
0 |
0 |
0,8 |
60 (2 + 5s) |
1,0 |
||||
7 |
0 |
4 |
6 |
0 |
10 |
0,6 |
0 |
30 (8 + 3s) |
0,8 |
||||
8 |
6 |
0 |
4 |
0 |
8 |
0,3 |
0 |
40 (2 + 5s) |
1,6 |
||||
9 |
0 |
4 |
6 |
10 |
0 |
0 |
0,4 |
50 (3 + 2s) |
1,4 |
||||
37