Файл: 994.pdf

тоже именно этим методом квантовой механики. Основы квантовой

механики принято представлять в виде совокупности ряда постулатов или

положений.

1.2. Постулаты квантовой механики

Постулат 1

Систему частиц можно характеризовать функцией 'Р (QJ, ... Qnt),

которая называется волновой функцией, и через которую определяются все

измеримые величины ДЛЯ системы из n частиц, где q - I!ространственные

координаты и t - время. дЛЯ стационарных систем 'Р является функцией

только координат.

Физический смысл имеет произведение 'I! .'I!' .d, (чаще пишут

'I!',!Jd,), эта величина определяет вероятность нахождения координат частиц в объеме dr. Такую интерпретацию дал Борн. А поскольку каждая

частица обязатсльно ДОJlжна быть в какой-то точке пространства, то интегрирование по вссму 3n-мерному пространству дает:

Это условие называется нормировкой. 'I! * - комплексно-сопряженная

волновая функция. Дело в том, что волновую ФУНКЦИЮ часто удобно

поэтому мы, для упрощения будем пользоваться действительными

ФУНКЦИЯМИ. Итак, Ч"Ч' =',!11 2 - эту величину часто называют ПЛОТНОСТЬЮ

вероятности координат частицы и тогда сама 'f'-амплитуда плотности

вероятности, а 'f"'Jldr -вероятность нахоЖДсния частпцы в объеме dr

Такая интсрпретация '\р12 как IIJЮТНОСТИ вероятности нахо/щтся в

согласии с основным ПРИIllЩПОМ квантовой механики - принципом

псопреДСЛСН!lОСТИ ГсЙзенберга. Исходя из СМЫС.lа '\р12 • dr, волновая

функция должна обладать рядом свойств. Она должна быть:

•однозначной

•непрерывной

•конечной

14

Функции, удовлетворяющие этим требованиям, называются

1егуЛЯрНblМU.

Постулат 2

Каждой физически наблюдаемой в классической механике величине I квантовой механике сопоставляется линейный оператор.

Оператор - это значок (или символ), который показывает какое

~ействие нужно произвести над функцией, чтобы ПОЛУЧИТЬ новую

af(x)

I>ункцию. Например, когда мы функцию дифференцируем, то в дх

()

шачок fu является оператором дифференцирования и тогда можно

lаписать:

Очень важным оператором в квантовой механике является оператор

Тlаnласа, который обозначается А или v2 (набла). Этот оператор

]Оказывает, что от функции нужно взять сумму вторых производных по юординатам x,y,Z:

V f(x,y,z)=--~ +--::;-Z+-2

в квантовой механике применя\Отся линейные операторы, т. е. такие

:шсраторы, которые удовлетворяют условиям:

1. P[~(x)+ f2 (x)]=Ffj (x)+Ff2 (x)

F[cf(x)]=cFf(x) и

F[c\~(х)+С2Г2(х)]= c\Ff\ (х)+c2Ff2 (х)

где f, (х) И t; (х) - ПРОИЗВОЛЬНblС функции И С, И С, - произвольные

постоянные. Jlинейныс операторы можно складывать и умножать:

2.Если А и В являются линейными операторами, то:

А+ В =S (т. е. их линейная комбинация)

"""В=Р s и р тоже линейные операторы.

Sf(x) = (А + B)f(x) = АЛх) + Bf(x)

Произведение l' '"А· R

15

Pf(x) = ABf(x) = A[Bf(x)]

в общем случае порядок расположения двух операторов в

произведении не безразличен, т. е. линейные операторы не обязательно

коммутируют. Если же А· В == В . А, то операторы обладают свойствами

коммуmаmи8110сmи.

самосопряженности поскольку операторы должны приводить к

вещественным значениям веJfИЧИН, то должно выполняться условие

fЧJ*РРdr = f\fF*\f*dr,

т.е. если в операторе есть i, то перед ним меняется знак. Если в

результате применения оператора F к регулярной функции f получается

вновь та же фупкция, умноженная на некоторое число }., т.е. F . f =}! то

все члены указанного класса функций наэываются собственными

функциями оператора F а различные возможные значения ),

соответствующие собственным функциям, называются собственными

зна'lениями этого опсратора.

Как же определить какой оператор нужно сопоставить той или иной динамической персменной? Есть правило нахождения квантово­

механических операторов, которое состоит в следующем:

Вклассической механике все динамичсские величины можно

выразить в !lсременных р и q , т.с. через пространетвенную координату и

импульс. Если динамическая перемеllНая являстся пространственной координатой q, то соответствующий ей оператор будет оператор

умножения Q , т.к. ОI1срация состоит в умножении функции Н3 эту

координату

"

Q\f1 q\f1

Q-оператор, соответствующий q

ПотеНJЩалыlOЙ энергии тоже сопоставлястся оператор умножения на эту величину, т.к. потенциальная энергия являстся функцией координат

V(q) - V(q) . Оператор, соответствующий количеству движения или

импульса обозначается

P== -lгt- =-1п v

~ ./;. д ·t.п

aq

и является дифференциальным оператором псрвого порядка.

16

. дЧ'

Он переводит функцию I.f' в - ln -aq. Если взять компоненты

IЫПYльса, то соответствующие им операторы будут:

lJnepaTopbI tpx, pJ lpx, р=J и lpy'pz j -коммутируют между собой (такжс

[}ператоры коммутируют если коммутатор равен нулю (или "исчезает") .

[Рх , х] = рхХ - хРх = - ifz и Т.д.

Важно, что две физические величины могут быть одновременно

намерены, если их операторы коммутируют. Принцип неопредсленности

,именим к тем величинам (или "наблюдаемым"), опсраторы которых не

рмутируют. Кинетическая энсргия

Составляющие кинетической энергии по координатным осям

Операторы, соответствующие компонснтам кинетических энсргий в

[llnpавлснии трех осей:

ГЛ= (-Пi~;У'2т= -л~~2

17

Pf(x) = ABf(x) = A[Bf(x)]

В общем случае порядок расположения двух операторов в

произведении не безразличен, т. е. линейные операторы не обязательно

коммутируют. Если же А· В = В . А , то операторы обладают свойствами

вновь та же функция, умноженная на некоторое число ;., Т.е. F . f = Af то

все члены укюанного класса функций называются собственными

функциями оператора F а рюличные возможные значения А.,

соответствующие собствснным функциям, нюываются собственными

значениями этого оператора.

Как же определить какой оператор нужно сопоставить той или иной

динамической персменной? Есть правило нахождсния квантово­

механических операторов, которос состоит в следующем:

Вклассичсской механике все динамичсские величины можно

вырюить в псременных р и q , Т.е. через пространствснную координату и

импульс. Если динамическая перемспная является пространствснной координатой q, то соответствующий ей оператор будет оператор

умножения Q , Т.К. Оllсрация состоит в умножении функции па эту

координату

"-

Q\f1 q\f1

Q-оператор, соответствующий q

Потенциальной энсргии тоже сопоставляется оператор умножения на эту величину, т.к. потенциальная энергия является функцией координат

V(q) - V(q). Оператор, соответствующий количеству движения или

импульса обозначастся

р"'" -i1i~=-i1i'V

aq

и является дифференциальным опсратором первого порядка.

16