Файл: 994.pdf

Он персводит функцию \тТ/ В - 1"Р!aq'д У Если взять компоненты

импульса, то соответствующие им операторы будуг:

как и операторы координаты), а операторы импульса и координаты не

коммутируют. Разность А'в-В·А= [А,вj называется коммутатором,

Операторы коммугируют если коммутатор равен нулю (или "исчезает") .

[Рх,х]== Рхх - хРх == -i1i ит.д.

I3ажно, что две физические всличины могут быть одноврсменно измерсны, если их операторы коммугируют. Прющип неопредсленности применим к тем величинам (или "наблюдаемым"), операторы которых не коммутируют. Кинетическая энергия

тv2 р2

Т==-=-

2 2т

Составляющие кинетической энергии по координатным осям

ОIlсраторы, соотвстствующие компонентам кинетических энергий в

направлснии трсх осей:

Оllсратор кинетической эпергии:

Полная энергия классической системы равна сумме кинетической и

потенциальной энсргий:

E=T+V

Оператор полной энергии или оператор Гамильтона Н

определяется как сумма операторов кинетической и потенциальной

Энергий:

С этим оператором мы будем работать в будущем.

й- самосопряженный линейный оператор; при этом, ПОСКОЛЬКУ он не

содержит" i", то Й ;: й' и значит

JЧJ·ЙЧ'dт = JЧJЙЧ'·dT

Постулат 3

в общем виде этот постулат утверждает, что если волновая ФУНКЦИЯ

Ч' есть собственная функция оператора F , то можно написать уравнение: ftч1 =,1.Ч'

где ,1. - есть собственное значение оператора fr .

Собственные функции и собственные значения самосопряженных

операторов обладают следующими важными свойствами:

1. Собственные функции любого самосопряженного оператора, принадлежащие различным собственным значениям -- ортогональны

между собой во всем интервале изменения переменных:

S'l'n 'l'm dr =0

2. Если одному собственному значению оператора соответствует

несколько различных линейно-независимых собственных функций, то

ФУНКЦИИ нэзываются вырожденными.

л

Если в качестве F взять оператор полной энергии Н, то для

стационарных систем (т.е. систем для которых энергия не изменяется во

времени) можно записать:

л

Fl'Y = ЕР

где Е - полная энергия системы в данном состоянии - постоянная

величина (не зависящая от координат и времени).

Это и есть уравнение Шредингера в операторной форме.

Если раскрыть оператор Гамильтона, то получится уравнение Шредингера в таком виде:

--п2v2 Ч'+V·'f'=Е·Ч' 2т

1i2

--v2 Ч'-(Е-V)Ч'=0

2т

v2Ч'+ 2m(Е_V)Ч'=О

п2

18

в разных книгах по квантовой механике формулируется разное количество

постулатов. Три, отмеченные выше, обязательны. Еше в качестве

постулата формулируют и следующее свойство микросистемы:

Dостулат4

в квантовой механике собственное значение какого-либо оператора

получается в том случае, если функция 'р, описывающая состояние

системы, является собственной функцией данного оператора. Во всех

других случаях приходится иметь дело со средними значениями (ипи

ожидаемыми) механических величин:

-JЧ'*F'Pd!"

.tl :::~---

JЧ"Ч'dТ

Если функция нормирована, то

А = J'l'*F'I'dr

Если функция 'f известна, то среднее значение механической

механической величины. Если же ФУНКЦИЯ 'f является собственной

функцией оператора F , то

Х::: JЧ"F'I'dТ::: JЧ'*,iЧ'dТ:::,iJ'P'Y'd!"=A

т.е. IIолучается собственное значение оператора F .

Например, можно определить среднее значение (или ожидаемое)

импульса частицы или одной из его компонент:

р= JЧ{-jh-~)'Р'dТ

ХJqAJI'dT

Такая ситуация может возникнуть в том случае, если система из n

частиц характеризуется волновой функцией 'f'.А мы для каждой из частиц

будем определять ипи координату х, или кинетическую энергию Т, ЮIИ

Компонент импульса Р" или импульс р . Вот тогда мы сможем найти

ОЖИдаемое или среднее значение всех этих величин.

19

1.3.Некоторые простые задачи квантовой механики и

уравнение Шредингера

1.3.1.Электрон в nотетlЦUалъном ящuке

вквантовой механике рассмотрение различных физических систем

сводится к решению уравнения Шредингера. При этом сначала нужно:

составить оператор Гамильтона, подставить его в уравнение и решить его.

Рассмотрим сначала некоторые простые системы, которые имеют большое

значение для изучения молекулярных и кристаллических систем и для

спектроскопии, а также решим задачу, связанную с движением электрона в

оrpаниченном замкнутом пространстве. Представим себе мысленно (физики любят ставить такие «мысленные» опыты), что мы поместили электрон в ящик с бесконечно высокими стенками, внутри которого

потенциальная энергия равно нулю. Вне ящика она настолько велика, что

электрон не может выйти из ящика. Допустим он двигается только вдоль

оси Х.

V;:.()

~---1, ---.------?" х

Рис.l.3 а.

Его состояние описывается волновой функцией '1'. Тогда уравнение

Шредингера для него запишется так:

Если это уравнение решить, то получим, что Ч' может иметь

следующий вид:

ч' == А . sin kx 'JI=в .cos kx; 'JI:::: А . sin kx + В . cos kx

Какое выбрать? Для этого нужно определить какое из этих решений

удовлетворяет rpаничным условиям: '1' =0, когда Х =о и Х =L (т.е.

20

ЭЛеКТРОН не может покинуть ящик). Таким требованиям удовлетворяет 'р;: А. sin kx (так как '1'=В ·coskx удовлетворяет этим требованиям только

при В =О, и тогда '1'всегда будет равна О, это не годится).

n2h2

Е=-

8mL2

Это значит, что энергия электрона в ящике I<вантуется - принимает

значения пропорциональные квадрату целых чисел п=I,2,З,... Если

пространство буде велико (L велико), то

Еn+1 - Еn -j- О

тоже не будет.

Как себе это можно llредставить (рис.l.3 6)?

в силу двойственной природы, движение электрона носит волновой

характер. В ограниченном пространстве волна может распространяться

Только в том случае, если вдоль длины укладывается целое число

IIОЛУВОЛН, Т.е.

А

L = n--

2

где 11 - любое целое положительное число (рис. l.3б)

При движении в трехмерном ящике (с длинами сторон а,Ь,с) элеКТРОII

Имеет три степени свободы и его энергию можно рассматривать как сумму

составляющих по трем координатным осям, Т.е.

E=Ex+Ey+Ez.

21