Файл: 994.pdf

Волновую функцию, описывающую состояние электрона, можно представить как произведение трех функций, каждая из которых зависит только от одной координаты (исходя из вероятностных представлений в

описании состояния микрочастиц. Вероятность сложного события равна произведению вероятностей отдельных событий).

!

y~o:> !

I

Рис.l.3 б.

tp = Х(х). У(у). Z(z).

Тогда при решении уравнение Шредингера преобразуетсSl в три

обыкновенных дифференциальных уравнения, которые могут быть легко

решены.

В соответствии е (раничными условиями

х=о и х=а, у=о и у =Ь, z=O и z=c

энергия электрона в трехмерном ящике будет определяться:

где nх' nу' n, - квантовые числа.

Таким образом, решение уравнения Шредингера для элеюрона в

потенциальном ящике привело к очень важному результату:

энергия электрона в ограниченном пространстве может принимать лишь

определенные дискретные значения, Т.е. квантуется. Это справедливо, не

только для электрона, но и для любой микрочастицы.

22

/.3.2. Гармонический линейный осциллятор

Гармоническим линейным осциллятором называют колебательную систему, представляющую собой частицу с массой m и совершающую

движение вдоль по прямой линии под действием силы F, пропорциональной смещению Х от ПО1l0ження равновесия. Сила F

стремитсЯ вернуть частицу в положение равновесия F = -kx. Теория

гармонического осциллятора имеет в физике большое значение, т.к. многие системы можно рассматривать как совокупность осцилляторов. Все молекулы имеют колебательные степени свободы, которые можно описать

с помощью теории гармонического осциллятора.

Рис.1.4.

Уравнение Шредингера для гармонического осциллятора можно представить следующим образом:

Потенциальная энергия осциллятора будет:

Если решить это уравнение, то получаются следующие результаты:

Собственные ВОлновые функции 'Vбудут иметь следующий вид:

0/0 = (-2a)li7r е_ш2

23

2.Собственные значения оператора Й , т.е. разрешенные

энергетические уровни:

Еу = (v + 12~vo

Очень важные результаты квантомеханического рассмотрения можно обобщить следующим образом:

1. Гармонический осциллятор может иметь лишь определенные

разрешенные значения энергии, при этом расстояния между

уравнями энергии одинаковые.

2.Целые числа v являются колебательными квантовыми числами.

3.В нижнем квантовом состоянии при v=O энергия осциллятора не

обращается в пуль: Ео ::: 12 hvo; это нулевая энергия.

/3. 3. Жесткий ротатор

Систему, состоящую из двух масс т! и m2 , находящихся друг от

друга на фиксированном расстоянии r , и вращающихся вокруг общего

центра масс, называют жестким ротатором. Момент инерции ротатора

Для такой системы потенциальная энергия V =о и в декартовых

координатах уравнение Шредингера запишется следующим образом:

24

1

Поскольку для жесткого ротатора m = 2 ' то данное уравнение

r

моЖНО рассматривать, как уравнение Шредингера для ОДНОЙ частицы с

массой J и r =I , вращающейся вокруг начала координат по поверхности

сферы:

:r

Рис. 1.5.

Если теперь представить себе волновую функцию, как функцию двух

сферических координат (третья координата r=1)

'Р(9, <р)== В(9). ф(q;)

и взять оператор Лапласа в сферических координатах, то решение уравнения Шредингера даст возможные значения энергии, которые может

принимать ротатор

n?

Е«ращ == 21 J(J + 1)

дискретность энергии ротатора. Этот результат имеет существенное

значение при рассмотрении вращательного движения двухатомных

молекул.

ГЛАВА 2. Строение атомов

2.1. Атом водорода в квантовой механике

Итак, именно квантовая механика стала той современной фИЗИКОЙ,

Которая смогла объяснить строение вещества и в первую очередь строения

аТома. Естественно начать рассмотрение строения атомов с простейшеr'О

аТО1'.1аатома водорода. Рассмотреть строение атома водорода в квантовой механике - это значит решить для него уравнение Шредингера.

эта задача для двух частиц, так как атом состоит из протона и

электрона. Но известно, что масса протона почти в 2000 раз больше массы ЗJ1ектрона. Поэтому можно считать, что протон закреплен в центре атома, а

25

движение электрона рассматривать в поле фиксированного ядра. Таким

образом задачу можно свести к одной частице, движущейся вокруг неподвижного ядра под влиянием заряда ядра, но с лриведенной массой

теМп =

m =----------- те

mе+М п

т.е. в случае электрона и ядра приведенная масса может быть принята за массу электрона. Это хорошее приближение.

Запишем уравнение Шредингера для атома водорода

v 2 '1'+ 2пт2 -(E-V)Ч'=О

п=~

2JТ

решить уравненне в таком виде математически довольно сложно. Но мы всс-таки проследим по этапам решение и обсудим результаты, которые

получаются при этом. Поскольку потенциальная энергия выражается как

е2

--- И электрон движется в поле сферической симметрии, то нам вообще

r

удобнее перейти от декартовых координат к полярным, которые

выбираются следующим образом:

Полярная система координат характеризуется параметрами

" 9 rp , которые связанны с декартовыми координатами следующими

соотношениями:

z=r· cos.9

х= r . sin 9 . cos qJ

у=r . sin .9 .sin rp

у =tgrp

х

26

z

Оператор Лапласа в полярных координатах

Мы не будим заниматься этим переводом, а сразу им воспользуемся. Уравнение Шредингера в полярных координатах будет выглядеть так:

Чтобы решить это уравнение нужно разделить переменные. Для эт()го сначала нужно 'l' выразить как функцию полярных координат и

найти частные производные по всем переменным (полярным координатам)

'V(r, .9,Ф)= R(r )0(t9)t/{ф) = R· О . Ф

B'V = BR оф

Br дr

!Э'Р.. = де Rф

дЧJ = Е..?"'ЯО

дгр дгр

lIодставим в уравнение Шредингера

27

r 2 sin 2 ,9

Умножим равенство на -щ

Одно из слагаемых зависит только от 'р, перенесем его в правую

часть

Теперь в левой части все величины зависят от r И ,9, а в правой

только от (jJ. Если при всех значениях переменных обе части уравнения:

равны между собой, это значит они равны nосmояюlOй величине.

Обозначим ее т,2 . Тогда

Пока оставим это в таком виде, и разделим еще две перемеНl1ЫС.

Левая часть уравнения тоже равна т,2, разделим ее на sin 2 .9

и опять можно разделить переменныс

Та же самая ситуация. Мы обозначим эти части как с = 1(1 + 1)

28

Более кратко в общем виде можно записать:

(1): j(rp)==m;

(2): 1(9) =z(z +1)

(3): f{r) =z(z +1)

Итак, мы разделили переменные и получили три уравнения, каждое

из которых зависит только от одной переменной величины.

Если учесть, что '1'должна обладать свойствами однозначной,

линейной и конечной функции и решить эти уравнения, то мы получим

следующие фундаментальные результаты. Начнем с 3-го уравнения f(r),

или радиапьной части уравнения Шредингера. Решение этого уравнения дает значение энергии, или собственное значение оператора Гамильтона:

Е =_2н2 mе4 h2 n2

где n - целое число, начиная с 1 (О - лишено физического смысла, т.к.

тогда Е-,;оо), n=I,2,З... Т.е. возможные значения энергии обратно

пропорциональны квадрату целых чисел - другими словами - энергия может принимать только определенные дискретные значения - или

кваllmуеmся. n называется главными квантовым числом (положительные

значения Е нас не интересуют, т.к. это значит, что электрон не связан с ядром, Т.е. существует вне атома).

Энергия электрона в атоме водорода, найденная из уравнения

Шредингера, совпадает с величиной, которую нашеJJ Бор, введя свои

ПОСТУJJаты о квантовании энергии в законы классической физики. Это

уравнение для Е описывает спектр атома водорода

через волновое число

й)= ~=~=2,,:~e'(:,' -:;)= R(:~_:;)

где R - постоянная Ридберга (R=I,097'105CM'\)

Энергия электрона в основном состоянии (n = 1)

е2

Е1 = ---

2ао

29