Файл: Лекции по физике.pdf

Сделать презентацию

Скачать файл (1,74Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 05.12.2025

Просмотров: 1473

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

υ2			P			υ2			P
1	+ gh +		1	=			2	+ gh +	2	.	(6.4)

2		1	ρ				2	2	ρ
Это уравнение Бернулли для стационарного движения идеальной несжи-
маемой жидкости. Его можно представить в виде
	υ2	+ gh +			P		= const ,				(6.4)
	2				ρ

где υ − скорость жидкости в данном поперечном сечении, h − высота данного сечения над некоторым нулевым уровнем, P − внешнее давление на данной высоте.

По существу, уравнение Бернулли – это закон сохранения энергии для текущей невязкой жидкости. Это уравнение используется для нахождения скорости течения жидкостей или давления в потоке. Приведем два примера.

1) Течение в горизонтальной трубе, рис. 6.2. Так как h1 = h2, то уравнение

(6.4) принимает вид
υ2		P		υ2		P
1	+	1	=	2	+	2	.

2		ρ		2		ρ
Как следует из формулы (6.3), в широкой части скорость течения меньше,
чем в узкой, υ2 < υ1. Тогда из	уравнения				Бернулли следует, что Р2 > Р1. Та-

ким образом, в тех участках трубы, где жидкость течет быстрее, давление меньше. Или так: в узких участках трубы давление меньше, чем в широких.

2) Вода вытекает из широкого бака через узкий кран К вблизи дна. Найдем скорость течения воды из крана. Для этого выделим трубку тока от поверх-

ности жидкости к крану (1 → 2), как показано на рис. 6.4, и

запишем для нее уравнение

Бернулли:

υ2

+ gh +

где Р1 и Р2 –

внешнее (атмосферное) давление в точках 1 и

2, а υ1 и υ2 –

скорости жидкости в этих точках. Так как бак

Рис. 6.4

не очень высокий, то атмосферное давление в точках 1 и 2

мало отличается (Р1 ≈ Р2), а так как бак широкий, а кран узкий, то скорость движения поверхности жидкости достаточно мала (υ1 ≈ 0). Учитывая также, что

h2 = 0, окончательно получим gh =	υ2	, откуда
	2

	υ = 2gh .		(6.5)

Это формула Торричелли. Из нее видно, чем ниже уровень воды в баке, тем медленнее она вытекает. Что мы и наблюдаем на практике.

6.2. Вязкость жидкости. Формула Стокса

В реальной жидкости между молекулами действуют силы взаимного притяжения, обусловливающие внутреннее трение или вязкость. Внутреннее трение, например, действует на дно реки, вызывает силу сопротивления при движении медуз, рыб, головоногих моллюсков, кораблей, подводных лодок, и др.

Ньютон установил, что сила внутреннего трения Fтр в

жидкой среде пропорциональна градиенту скорости те-

чения

dυ

в направлении оси,

перпендикулярной по-

υ(x)

Fтр

верхности, вдоль которой течет жидкость:

= −η

dυ

S ,

(6.6)

тр

Рис. 6.5

где S – площадь поверхности,

на которую действует

сила трения.

Градиент показывает, как меняется скорость в направлении, перпендикулярном течению, то есть от координаты х. Математически – это производная скорости по х. На рис. 6.5 изображена сила вязкого трения, действующая на поверхность, по которой течет жидкость.

Коэффициент пропорциональности η называется коэффициентом внутреннего трения или динамической вязкостью, а ее размерность можно получить из формулы (6.6): [η] = H·м/(м2·м/с) = Н·с/м2 = Па·с. У большинства жидкостей (вода, низкомолекулярные органические соединения, истинные растворы, расплавы) вязкость зависит только от природы жидкости и температуры (с ростом температуры вязкость понижается). Такие жидкости называются ньютоновскими. У некоторых жидкостей, преимущественно высокомолекулярных (растворы полимеров) или представляющих дисперсные системы (эмульсии, суспензии), вязкость зависит также от режима течения – давления и градиента скорости. При их увеличении вязкость жидкости уменьшается из-за нарушения внутренней структуры потока жидкости. Такие жидкости называются структурно вяз-

кими или неньютоновскими.

Чем больше вязкость жидкости, тем труднее в ней двигаться. Это можно увидеть на примере установившегося движения маленького шарика в жидкости. Так, маленькая дробинка в воде падает гораздо быстрее, чем в глицерине, обладающем большей вязкостью.

Сила сопротивления вязкой среды, действующая на маленький шарик ра-

диуса r, движущийся со скоростью υ, определяется формулой Стокса
Fс = 6πηrυ.	(6.7)
Зная установившуюся скорость движения шарика в жидкости,	можно

найти ее вязкость. Покажем это. Пусть маленький шарик с плотностью ρ1 падает в жидкости с плотностью ρ2 (ρ1 > ρ2, иначе будет всплытие). При движении шарика на него действуют следующие силы: сила тяжести mg, сила сопротивления жидкости Fc и выталкивающая (архимедова) сила FА. На-

	FA r	правления этих сил показаны на рис. 6.6. Так как шарик движется
	Fc	вертикально с постоянной скоростью, то сумма проекций всех сил

	υ	на ось Y равна нулю:
	mg	mg – FА – Fc = 0.
	Y	Подставим выражения для выталкивающей силы (закон Ар-
	Y	химеда) и силы сопротивления вязкой среды (формула Стокса)
	Рис. 6.6	химеда) и силы сопротивления вязкой среды (формула Стокса)
	Рис. 6.6	ρ1gV – ρ2gV – 6πηrυ = 0,
	44

где V = 4 πr3 – объем шарика радиуса r.
3
Тогда для вязкости получим	2gr	2
η =	2gr	2			) .
η =	9υ	(ρ −ρ			) .
	9υ	1		2
6.3. Течение вязкой жидкости по горизонтальной трубе. Формула Пуазейля
Перейдем теперь к рассмотрению движения жидкости в цилиндрической
трубе с гладкими стенками. При сравнительно небольших скоростях жидкость
течет без завихрений. Такое течение называют ламинарным. При больших ско-
ростях течения в потоке появляются завихрения, и движение становится турбу-
лентным. Для выяснения, когда ламинарное движение переходит в турбулент-
ное, используют так называемое число Рейнольдса:
	Re = ρυd		,					(6.8)
		η
где d и υ – характерные размер и скорость тела или потока (в данном случае
d – диаметр трубы), ρ и η – плотность и вязкость жидкости.
Число Рейнольдса безразмерное. Существует критическое значение этого
числа Reкр, при котором течение жидкости становится турбулентным. При этом,
если Re < Reкр, движение ламинарное, а если Re ≥ Reкр – турбулентное. Критиче-
ское число Рейнольдса определяют из опыта для конкретной ситуации. Оно зави-
сит от конфигурации тел, обтекаемых жидкостью и свойств самой жидкости. Так,
для рассматриваемой нами прямой гладкой трубы Reкр ≈ 2300.
Рассмотрим безвихревое (ламинарное) течение жидкости в трубе радиуса
R и длины l под действием разности давлений				Р = Р2 – Р1 на ее концах (Р2 > Р1).
При этом слой молекул, прилегающий к стенке, прилипает к ней и остается не-
подвижным. Следующий слой молекул под действием
силы, создаваемой разностью внешних давлений, мед-							r	υ(r)
ленно движется, преодолевая внутреннее трение. Каж-								υ(r)
ленно движется, преодолевая внутреннее трение. Каж-
дый следующий слой движется быстрее, достигая мак-						Р2		Р1
симального значения в центре трубы, рис. 6.7. Распре-							R
деление скоростей в трубе носит параболический ха-
рактер. Покажем это.								l
Выделим внутри трубы трубку тока радиуса r. На								l
Выделим внутри трубы трубку тока радиуса r. На
ее боковую поверхность действует сила вязкого трения								Рис. 6.7
(6.6)	= −ηdυ 2πrl .
F	= −ηdυ 2πrl .
тр		dr
		dr
Кроме того, на основания трубки действует сила, вызванная разностью
давлений,	F =	Р·πr2.
	F =	Р·πr2.
Эта сила противоположна силе вязкого трения. При стационарном течении
этисилыдолжныбытьравныповеличине(векторнаясуммаравнанулю). Тогда
								45

ddrυ = − 2ηPl r , dυ = − 2ηPl rdr ,

υ = − 2ηPl ∫rdr = − 4ηPl r 2 + C .

Постоянную интегрирования С найдем из условия, что на стенке трубы

(r = R) скорость обращается в ноль, то есть υ(R) = 0. Тогда получим
υ =	P	(R2	− r 2 ) .	(6.9)
	4ηl

Зависимость υ(r) – парабола.

Подсчитаем теперь расход жидкости, то есть ее объем, протекающий через поперечное сечение трубы в единицу времени. Объем жидкости, ежесекундно протекающий через кольцевую площадку с внутренним радиусом r и внешним r + dr, равен dQ = υ·2πrdr. Подставляя сюда (6.9) и интегрируя, находим искомый расход жидкости

Q =	π P	∫R (R2 − r 2 )rdr ,
Q =	2ηl	∫R (R2 − r 2 )rdr ,
		0
	Q =	πR4	P	.	(6.10)
	Q =	8η	l	.	(6.10)
		8η	l

Это формула Пуазейля, полученная им экспериментально. Из нее видно, чем больше радиус трубы и разность давлений на ее концах, тем больше жидкости через нее проходит. Однако в случае турбулентного течения жидкости эта формула неприменима. Объемный расход измеряется в м3/с.

Часто для характеристики систем, через которые протекает жидкость, используетсяпонятиегидродинамическоесопротивление– величина, обратнаярасходу:

Rg =	P	.	(6.11)

	Q

Физический смысл этой величины довольно простой: чем больше гидродинамическое сопротивление системы, тем хуже через нее протекает жидкость. Единица измерения [Rg] = Па·с/м3.

Вопросы к лекции 6

1.Найдите давление, действующее на водолаза на десятиметровой глубине.

2.Несколько лет назад в Калужской области произошел следующий случай: корову, провалившуюся в неглубокий колодец, спасли пожарные «с помощью» закона Архимеда. Как они это сделали?

3.Почему на перекатах река течет быстрее, чем на плёсах?

4.Выведите уравнение Бернулли и приведите примеры его применения.

5.Как называются величины, входящие в уравнение для силы вязкого трения?

6.Нарисуйте силы, действующие на всплывающие в молоке жировые шарики.

7.Как изменится гидродинамическое сопротивление водопроводной трубы, если на кран поставить сетчатый фильтр? Как это повлияет на расход воды?