ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 05.12.2025
Просмотров: 1461
Скачиваний: 0
|
|
|
|
|
N |
= |
4 |
u2e−u2 u = F(u) u . |
(7.5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
N |
π |
|
|||
Здесь N – число молекул в данном интервале скоростей; N – полное чис- |
||||||||||
ло молекул; u = |
υ |
− безразмерная скорость, где υв = |
2RT − наиболее веро- |
|||||||
|
||||||||||
|
υв |
|
|
υ . |
μ |
|||||
ятная скорость молекул; |
u = |
|
||||||||
|
|
|
4 |
|
|
υв |
|
|||
Функция F(u) = |
u2e−u2 называется функцией распределения молекул |
|||||||||
π |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
по скоростям, ее график изображен на рис. 7.5. Возвращаясь к опыту Штерна, отметим, что профиль размытой полосы в точке B′ на рис. 7.4, б) полностью соот-
ветствует графику функции распределения. |
F(u) |
|
|
|
Физический смысл функции распределения |
|
|
|
|
следующий: величина F(u) u определяет |
|
|
N/N |
|
вероятность того, что скорость молекулы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
попадет в интервал от υ до υ + Δυ. Функция |
|
|
|
|
F(u) максимальна при u = 1, то есть, когда |
|
|
|
|
υ = υв. Поэтому ясен физический смысл |
|
|
|
|
наиболее вероятной скорости: бóльшая |
0 |
1 |
u1 u2 |
u |
часть молекул имеет такую скорость. |
|
|
Рис. 7.5 |
|
Законом Максвелла в форме (7.5) |
|
|
|
|
можно пользоваться для относительно ма- |
|
|
|
|
лых интервалов скоростей ( u << 1); для произвольных интервалов берется интеграл от функции распределения:
N |
u |
|
|
|
= ∫2 |
F(u)du . |
(7.5)′ |
||
N |
||||
|
u1 |
|
|
Этот интеграл определяет площадь криволинейной трапеции на рис. 7.5. Очевидное свойство функции распределения вытекает из условия, что доля молекул, скорости которых попадают в интервал от 0 до ∞, равна 1 (усло-
вие нормировки):
∞∫F (u)du =1.
0
Следующая таблица иллюстрирует закон Максвелла распределения молекул по скоростям (данные для азота при t = 148 °С; υв = 500 м/с).
Интервал скоростей, м/с |
Доля молекул, скорости которых лежат в указанном интервале, |
|
N/N·100% |
0-100 |
0,6 |
100-300 |
12 |
300-500 |
30 |
500-700 |
29 |
700-1000 |
23 |
> 1000 |
5,4 |
|
51 |
7.4. Уравнение состояния идеального газа. Экспериментальные газовые законы
Основное уравнение МКТ (7.1)′ с учетом соотношения Больцмана (7.3) можно записать в виде
P = nkT,
или так1 |
|
PV = νRT. |
(7.6) |
ν = m/μ – количество газа в молях; V − его объем. Это уравнение получено экспериментально и называется также уравнением состояния идеального газа или уравнением Менделеева – Клапейрона. Оно используется для описания идеального газа в состоянии равновесия.
Теперь перейдем к экспериментальным газовым законам.
Закон Дальтона: давление смеси газов равно сумме парциальных давлений каждого газа. Парциальным называют давление каждого газа в отдельности. Так, для двух газов
P = P1 + P2. |
(7.7) |
Тогда уравнение состояния для смеси газов будет иметь вид |
|
PV = (ν1 + ν2)RT. |
(7.8) |
Хотя все приведенные ниже законы получены |
экспериментально, их |
можно получить из уравнения Менделеева – Клапейрона при условии постоянства массы газа2.
P |
|
V |
P1 |
P |
V1 |
|
T2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
T1 |
|
P2 |
|
V2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
V |
0 |
T |
0 |
T |
|
|
|
|||
|
Рис. 7.6 |
|
Рис. 7.7 |
|
Рис. 7.8 |
|
Закон Бойля – Мариотта для изотермического процесса: при постоянной |
||||
температуре величина |
|
PV = const. |
|
(7.9) |
|
|
|
|
|
||
|
В координатах P-V графиком процесса будет гипербола, рис. 7.6. С рос- |
||||
том объема давление газа уменьшается. Если проводить процесс при более высокой температуре, график будут проходить выше (Т2 > Т1).
Закон Гей-Люссака для изобарного процесса: при постоянном давлении
величина |
|
V/T = const. |
(7.10) |
В координатах V-T графиком процесса будет прямая, рис. 7.7. С ростом температуры объем газа увеличивается. Если проводить процесс при более высоком давлении, график пойдет более полого (P2 > P1).
1Перейти от одной формулы к другой рекомендуется самостоятельно.
2Рекомендуется проделать в качестве самостоятельного упражнения.
52
Закон Шарля для изохорного процесса: при постоянном объеме величина
P/T = const. |
(7.11) |
Вкоординатах P-T графиком процесса будет прямая, рис. 7.8. С ростом температуры давление газа увеличивается. Если проводить процесс при большем объеме, график пойдет более полого (V2 > V1).
Взаключение следует отметить, что все эти процессы должны проводиться медленно или квазистатически, чтобы в каждый момент времени газ успевал приходить в состояние равновесия. Конечно, в природе и технике таких идеализированных процессов не бывает. Тем не менее, для математического моделирования реальных процессов и теоретической оценки параметров технических средств такие предположения часто вполне допустимы. В следующих лекциях по термодинамике неоднократно в этом убедимся.
Вопросы к лекции 7
1.Какой газ можно считать идеальным? Напишите уравнение состояния идеального газа и назовите входящие в него параметры.
2.Почему основное уравнение МКТ действительно является основным?
3.В чем заключается молекулярно-кинетический смысл температуры?
4.Ночью температура воздуха понизилась на 5 °С. На сколько кельвин понизилась температура?
5.Какой физический смысл имеет функция распределения молекул по скоростям?
6.Опишите опыт, подтвердивший закон Максвелла.
7.Сформулируйте закон Дальтона.
8.Какие основные процессы, происходящие с идеальным газом, рассмотрены в лекции? Дайте их характеристику и изобразите графически.
9.Какие процессы называются квазистатическими?
53
Лекция 8. Первое начало термодинамики. Теплоемкость
С изобретением тепловых машин, где в качестве рабочего вещества используется газ или водяной пар, возник вопрос о теплопередаче между телами, то есть как передается тепло и на что оно расходуется. Первое начало (закон) термодинамики открыто в середине XIX века в виде, близком к современному.
8.1. Первое начало термодинамики. Теплоемкость
Первое начало термодинамики: количество теплоты Q, сообщенное системе, идет на увеличение внутренней энергии системы U и на совершение системой внешней работы А:
Q = U + A. |
(8.1) |
Например, если газу под поршнем сообщить некоторое количество теплоты, он нагреется (увеличится внутренняя энергия газа) и переместит поршень (газ совершит работу). Внутренняя энергия есть функция температуры. Чем выше температура тела, тем быстрее движутся его молекулы, а, значит, больше внутренняя энергия тела. Если система получает тепло, Q > 0, если отдает, Q < 0; если работает система, A > 0, если работа над системой, A < 0.
Первое начало термодинамики, по существу, является законом сохранения энергии: полная энергия, переданная системе Q, превращается в тепловую энергию молекул системы U и в механическую энергию А. Он справедлив не только для газов, но и для жидкостей, и для твердых тел.
Если процесс медленный (равновесный), этот закон можно записать в ви-
де бесконечно малых приращений величин (в дифференциальном виде)1: |
|
δQ = dU + δA. |
(8.1)′ |
Пусть газ, находящийся под давлением Р медленно сдвинул поршень площади S на бесконечно малое расстояние dx. Тогда совершенная газом элементарная (бесконечно малая) работа
δA = Fdx = PSdx = PdV.
Полная работа газа при изменении объема от V1 до V2 получается интегрированием (суммированием бесконечно малых работ):
V2 |
|
A = ∫P(V )dV . |
(8.2) |
V1
Для характеристики процессов теплообмена введем понятия молярная и удельная теплоемкость вещества (не обязательно газа).
1 Внутренняя энергия – это функция состояния системы, для идеального газа зависящая только от температуры. Для равновесных процессов функция U(T) дифференцируемая и для нее определен дифференциал dU = U′(T)dT, где U′(T) – производная функции U(T) по температуре. Напротив, количество теплоты и работа не являются функциями состояния системы: нельзя сказать, что у системы такая-то теплота или такая-то работа. Для них дифференциал не определен. Поэтому бесконечно малые приращения этих величин обозначеныпо-другому.
54