Файл: Лекции по физике.pdf

Сделать презентацию

Скачать файл (1,74Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 05.12.2025

Просмотров: 1432

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

3.1. Момент силы и момент импульса относительно точки. Уравнение моментов

Пусть к балке длины r приложена сила F, как показано на	A
рис. 3.3. Тогда момент силы относительно точки О			α	F
M = F·\|OA\| = Frsinα,		O	r	F
M = F·\|OA\| = Frsinα,			r
где \|OA\| – расстояние от точки О до линии действия силы или
где \|OA\| – расстояние от точки О до линии действия силы или
плечо силы. Это хорошо известное из школы определение мо-			Рис. 3.3
мента силы.

Более точное определение: момент силы F относительно точки О – это

вектор, равный векторному произведению радиус-вектора r	из точки О в точку
приложения силы и этой силы:
M =[rrF],	(3.1)

см. рис. 3.4.

По величине M = Fr sin α. Из этой формулы следует размерность момента силы [M] = H·м.

Z		α	Z
				r
		F			M
	r			α
O			O

		Y			Y
X			X	F

Рис. 3.4

Аналогично определяется момент импульса.

Момент импульса материальной точки относительно точки О – это вектор, равный векторному произведению радиус-вектора r материальной точки и импульса pr этой точки:

r r	rr	(3.2)
L =[r p] = m[r υ],

см. рис. 3.5.

По величине L = mυr sin α. Из этой формулы следует размерность момента импульса [L] = кг·м2/с.

Рис. 3.5

Пусть точка О неподвижна. Возьмем производную момента импульса по

времени:

drr r

rdpr

dLr

r r

=[υp] +[rF]

=[rF

] = M .

Это уравнение моментов для одной материальной точки.

Дляr rтвердого тела (системы материальных точек), к которому приложены силы F1, F2 ,... (рис. 3.6) уравнение моментов аналогичное:

			dL	r	(3.3)
			dt	= M ,	(3.3)
r	r r	r r	dt
r	r r	r r	] +... – суммарный момент всех сил относительно точки О.
где M =[r1F1		] +[r2 F2	] +... – суммарный момент всех сил относительно точки О.

Производная по времени от момента импульса твердого тела относительно неподвижной точки О равна векторной сумме моментов всех сил относительно этой точки.

Z r	F1		Уравнение моментов похоже на второй закон Ньютона,
Z r	F1		где вместо импульса – момент импульса, а вместо силы – мо-
r1	rr2	F	мент силы. С помощью уравнения моментов можно описать
O		2	любое вращательное движение, даже самое сложное, напри-
O		Y	мер, вращение гироскопов1, применяющихся для определения
X		Y	мер, вращение гироскопов1, применяющихся для определения
X			отклонений корпусов кораблей, торпед, самолетов, ракет,
Рис. 3.6			спутников и т.д.

3.2. Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела

Это уравнение можно назвать вторым законом Ньютона для вращательного движения тела вокруг неподвижной оси. Будем рассматривать только случай плоского вращательного движения, когда силы, приложенные к телу (а также и скорости всех точек вращающегося тела), лежат в плоскостях перпендикулярных оси вращения.

В предыдущем параграфе мы говорили о моментах относительно точки.

Z				Здесь нам понадобятся моменты относительно оси. Момент
r				силы относительно оси – есть проекция на эту ось момента
ω				силы относительно какой-либо точки на оси. То есть берем
				удобную точку на оси, находим момент силы относительно
dL				нее и проектируем его на ось. Аналогично для момента им-
dL			r	пульса: момент импульса относительно оси – есть проекция
	rr		r	пульса: момент импульса относительно оси – есть проекция
	rr		υ	на эту ось момента импульса относительно какой-либо точки
				на оси.
		dm		на оси.
				Пусть твердое тело произвольной формы вращается
Рис. 3.7				вокруг неподвижной оси Z под действием нескольких каса-
				тельных сил F1, F2,… с угловой скоростью ω (рис. 3.7). Вы-

делим в теле бесконечно малую частицу массы dm, движущуюся со скоростью υ по окружности радиуса r. Тогда момент импульса этой частицы относительно оси Z

dL = dmυr = dmωr2.

Чтобы найти момент импульса всего тела нужно сложить моменты импульса всех частиц, то есть взять интеграл от полученного выражения. Учиты-

1 Гироскоп представляет собой быстро вращающийся диск, закрепленный в специальном подвесе. Ось вращения диска сохраняет ориентацию при поворотах гироскопа.

вая, что все частицы, составляющие тело, вращаются с одной угловой скоростью ω, получим

L = ∫dL = ω∫r 2dm .

Интеграл ∫r2dm называется моментом инерции тела относительно оси вра-

щения. Момент инерции зависит от массы, размеров и формы тела, а также от оси, вокруг которой вращается тело,

J = ∫r2dm .

(3.4)

Как пользоваться этой формулой, увидим в дальнейшем.

Поэтому момент импульса твердого тела определяется следующим обра-

зом:
		L = Jω,			(3.5)
Из уравнения моментов (3.3) в проекциях на ось Z
	dLz			= M z ,

		dt
опуская индексы и подставляя выражение (3.5), получим
d(Jω) = M ,
		dt
и если момент инерции постоянный, J = const,
J		dω	= Jε = M		(3.6)

		dt
Это основное уравнение (закон) динамики вращательного					движения

твердого тела. Закон формулируется следующим образом: произведение момента инерции тела J относительно оси вращения на угловое ускорение равно суммарному моменту M всех внешних сил относительно той же оси.

Например, на вращение тела, изображенного на рис. 3.8, влияют две силы: F1 и F2. Их моменты относительно оси Z соответственно M1 = F1r1 и M2 = F2r2.

	Тогда полный момент сил относительно оси Z	Z
	М = M1 – M2 = F1r1 – F2r2.	Z
	Обратим внимание, что суммирование моментов
	идет с учетом знаков, см. определение момента силы от-	r1
	носительно оси. Правило достаточно простое и следует из	F1
	векторного произведения: если сила действует по направ-	F1
	лению вращения (раскручивает тело), то ее момент берет-	r2
	ся с «плюсом», а если против вращения (тормозит) – с	r2
	«минусом». Как и в случае прямолинейного движения,	F2
	тормозящее действие на вращающиеся тела тоже оказы-	Рис. 3.8
	вают силы трения.	Рис. 3.8
	вают силы трения.

Уравнение (3.6) похоже на второй закон Ньютона (2.1), где вместо массы – момент инерции, вместо ускорения – угловое ускорение, вместо силы – момент силы. То есть параметры, характеризующие поступательное движение, меняются на соответствующие параметры вращательного движения. Так, обычная масса служит мерой инертности тела при поступательном движении, а

момент инерции является мерой инертности вращающегося тела (чем больше масса, тем труднее тело разогнать, а чем больше момент инерции, тем труднее тело раскрутить). Кроме того, из второго закона Ньютона видно, чем больше приложенная сила, тем больше ускорение тела (тело быстрее разгоняется), а из основного уравнения вращательного движения видно, чем больше приложенный момент, тем больше угловое ускорение тела (тело быстрее раскручивается).

3.3. Моменты инерции некоторых тел

Как уже говорилось, момент инерции зависит не только от массы, но и от формы и геометрических размеров тела, вычисляется по формуле (3.4) и измеряется в кг·м2. Приведем несколько примеров.

1) Момент инерции материальной точки массы m, находящейся на рас-

стоянии r от оси вращения,

J = mr2.

2) Момент инерции тонкого однородного стержня длины l относительно перпендикулярной оси, проходящей через его середину,

J = ml 2 . 12

3) Момент инерции тонкостенного цилиндра (обруча) радиуса R относи-

тельно его оси

J = mR2.

4) Момент инерции сплошного однородного цилиндра (диска) радиуса R относительно его оси

R r

Рис. 3.9

J = mR2 2 .

Выведем эту формулу. Для этого выделим в цилиндре трубку радиуса r со стенками бесконечно малой толщины dr, как показано на рис. 3.9. Пусть высота цилиндра h, а

hплотность материала ρ. Тогда масса выделенной трубки dm = ρdV = 2πρrh dr. Подставляя это выражение в интеграл

(3.4), получим

J = 2πρh∫r3dr = 12 πρhR4 = 12 (ρπR2h)R2 = 12 (ρV )R2 = 12 mR2 .