Файл: Лекции по физике.pdf

Z0 Z

O C

d

Рис. 3.10

Этот факт отражает теорема Гюйгенса – Штейнера: если тело вращается вокруг оси Z0, не проходящей через центр масс (рис. 3.10), то момент инерции J0 относительно этой оси равен

где J – момент инерции относительно оси Z, проходящей через центр масс и параллельной оси вращения, d − расстояние между этими осями, m − масса тела.

Если, к примеру, шар радиуса R будет вращаться вокруг оси Z0, как показано на рис. 3.10, его момент инерции относительно этой оси будет

J0 = 52 mR2 + md 2 .

Таким образом, момент инерции зависит от массы, формы и геометрических размеров тела, а также от оси, вокруг которой вращается тело.

3.4. Закон сохранения момента импульса. Энергия вращающегося тела

Еще раз запишем уравнение моментов для твердого тела (3.3) ddtL = Mr .

Если система замкнутая, то суммарный момент всех внешних сил относи-

тельно любой точки Mr = 0, поэтому ddtL = 0, следовательно Lr = const , то есть

суммарный момент импульса не меняется.

Закон сохранения момента импульса: В замкнутой системе сумма момен-

тов импульса всех тел относительно какой-либо точки остается постоянной

L = const . (3.8)

Мы будем пользоваться только следствием из закона сохранения момента импульса.

Если тела в замкнутой системе вращаются вокруг одной оси, то их суммарный момент импульса относительно этой оси не меняется. Так, для двух взаимодействующих тел:

где L1 и L2 – моменты импульса тел до взаимодействия, L1′ и L2′ – после взаимодействия. Моменты импульса берутся с учетом знаков.

23

Этот закон объясняет многие явления, происходящие с вращающимися телами. Например, крутящийся с раскинутыми руками фигурист, прижимая руки к туловищу, «автоматически» увеличивает свою угловую скорость. Закон сохранения момента импульса для фигуриста (одно тело):

L1 = L2

J1ω1 = J2ω2.

Откуда

ω2 = ω1 J1 .

J 2

Прижимая руки к туловищу, фигурист уменьшает свои размеры, а, значит, и свой момент инерции. Действительно, из определения и примеров моментов инерции мы видели, что, чем больше размеры тела, тем больше его момент инерции (J ~ mr2). Поэтому, так как J2 < J1, то ω2 > ω1.

Многие звезды вращаются вокруг своей оси и при этом сжимаются, например, Солнце. При сжатии размеры уменьшаются (из-за излучения масса, как правило, тоже падает), и скорость вращения увеличивается в соответствии с законом сохранениямомента импульса.

Найдем теперь кинетическую энергию вращающегося тела. Метод такой же, как в п. 3.2. Выделим в теле бесконечно малую частицу массы dm, движущуюся со скоростью υ по окружности радиуса r, рис. 3.7. Кинетическая энергия этой частицы

dK = υ2 dm = ω2r 2dm . 2 2

Чтобы найти кинетическую энергию тела нужно сложить энергии всех частиц, то есть взять интеграл от полученного выражения. Учитывая, что все частицы, составляющиетело, вращаютсясоднойугловой скоростьюω, получим

Если тело движется поступательно и при этом вращается, например, катящееся колесо, то его полная кинетическая энергия складывается из энергии поступательного (2.10) и энергии вращательного (3.9) движений.

В заключение параграфа отметим, что формулы для основных динамических характеристик вращательного движения аналогичны соответствующим формулам для поступательного движения. Так, чтобы получить выражение для момента импульса в формуле для импульса вместо массы берем момент инерции, вместо скорости – угловую скорость. Те же самые замены делаются в выражении для кинетической энергии материальной точки, чтобы получить формулу для кинетической энергии вращающегося тела.

24

3.5. Статика

Из основного уравнения динамики вращательного движения твердого тела (3.6) вытекает одно простое, но важное следствие, что если полный момент сил, действующих на тело, равен нулю, то его угловое ускорение равно нулю, и тело либо не вращается, либо вращается с постоянной угловой скоростью. Это следствие аналогично следствию из второго закона Ньютона для поступательного движения (2.1): если суммарная сила, действующая на тело, равна нулю, то его ускорение равно нулю, и тело или покоится, или движется с постоянной скоростью.

Итак, чтобы тело находилось в равновесии (в покое), необходимо, чтобы векторная сумма всех сил (или сумма проекций всех сил на любое направление), действующих на тело, и сумма моментов этих сил относительно любой оси были равны нулю. На этих двух положениях основана статика – наука о

Законы статики лежат в основе теории устойчивости различных сооружений и механических приспособлений (зданий, мостов, плотин, вышек, подъемных кранов и т.п.), а также в основе действия опорно-двигательного аппарата человека и животных (членистоногих и позвоночных).

Вопросы к лекции 3

1.Что такое твердое тело, и почему это идеализация?

2.Дайте определения момента силы и момента импульса относительно точки.

3.Напишите уравнение моментов для твердого тела и поясните смысл входящих в него переменных. Где оно применяется?

4.Дайте определения момента силы и момента импульса относительно оси.

5.Выведите основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела и дайте определение входящим в него физическим величинам.

6.Какой физический смысл имеет момент инерции?

7.Имеются две центрифуги одинаковой массы, но разного радиуса. Какую из них легче раскрутить?

8.Что такое момент импульса твердого тела?

9.Сформулируйте закон сохранения момента импульса и приведите примеры, где он выполняется.

10.Если вращающийся на льду фигурист хочет остановиться, он разводит руки в стороны, а если хочет вращаться быстрее, прижимает руки к туловищу. Как объяснить это явление?

11.В процессе горения солнце ежесекундно теряет огромную массу вещества. Как этот факт отражается на скорости вращения солнца вокруг своей оси?

12.Как найти кинетическую энергию катящегося без проскальзывания колеса?

13.Что изучает статика, и на каких принципах она основана?

25

Лекция 4. Механические колебания. Акустика

Колебаниями называют любые процессы, более или менее точно повторяющиеся через равные промежутки времени.

В зависимости от физической природы процесса различают колебания механические, температурные, электромагнитные и т.д. Однако все колебания подчиняются общим закономерностям, которые описываются аналогичными математическими уравнениями. Рассмотрим эти закономерности на примерах свободных (без приложения внешних сил) и вынужденных (с приложением внешних сил) механических колебаний.

4.1. Гармонические колебания и их характеристики

Гармоническими колебаниями называют периодическое изменение какойлибо физической величины (в механике – перемещения или угла поворота) вблизи ее равновесного значения. Эти колебания описываются функциями синус или косинус.

Рассмотрим характеристики колебаний на примере свободных колебаний маятника при отсутствии сил сопротивления (трения).

Физическим маятником называют твердое тело, которое совершает колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси. На рис. 4.1 изображен качающийся стержень.

Математическим маятником называют материальную точку, которая совершает колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси. Это частный случай физического маятника. На рис. 4.2 изображен небольшой шарик на легкой нерастяжимой (жесткой) нити.

Пусть тело массы m закреплено в точке О и совершает малые1 свободные колебания вокруг оси, проходящей через эту точку и перпендикулярной плос-

кости рисунка (рис. 4.1). Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Из основного уравнения динамики вращательного движения (3.6)

Jε = M.

Момент создается только одной силой – силой тяжести, причем сила действует против направления вращения, и знак момента будет отрицательным

M = –Mmg = –mglsinϕ ≈ –mglϕ,

1 Для малых колебаний характерны относительно небольшие отклонения величин от равновесного значения. В данном случае угол отклонения маятника маленький ϕ → 0 (в радианах). А в градусах угол не превышает 10°.

26