Файл: Лекции по физике.pdf

где l − расстояние от оси вращения О до центра масс тела С. Из определений углового ускорения и угловой скорости

ε = ω′(t), ω = ϕ′(t),

получим

ε = ϕ″(t).

Тогда с учетом преобразований основное уравнение будет иметь вид

Полученная функция ϕ(t) описывает гармонические колебания и определяет угол отклонения маятника от положения равновесия в момент времени t. Свободные колебания без сил сопротивления являются гармоническими.

Прежде чем перейти к характеристикам гармонических колебаний, отметим, что уравнения (4.1) и (4.2) носят общий характер. Уравнения такого вида описывают любые гармонические колебания, а не только колебания маятника. В зависимости от природы колеблющейся величины вместо угла поворота может быть перемещение, температура, сила тока, напряжение и т.д. Вид уравнений будет аналогичный.

Характеристики колебаний.

А – амплитуда – максимальное отклонение колеблющейся величины от положения равновесия.

ω0 − циклическаячастота(формулазависитотвидаколебаний, размерностьрад/с). ω0t + δ − фаза (размерность рад).

δ− начальная фаза.

ν= ω0/(2π) – частота (размерность с–1 = Гц).

Т = 1/ν = 2π/ω0 – период – время одного колебания.

Период колебаний физического маятника определяется формулой

где m − масса тела, J − момент инерции тела относительно оси вращения (оси колебаний), l − расстояние от оси вращения до центра масс тела.

Если взять небольшой по размерам шарик на легкой нити длины l, у нас получится математический маятник (шарик можно считать материальной точкой, если его радиус много меньше длины нити). Момент инерции шарика от-

носительно оси колебаний J = ml2. Тогда период колебаний математического маятника

Эта формула хорошо известна из школы.

Графически вид гармонических колебаний изображен на рис. 4.3. Это общий вид графика функции (4.2).

Если колебания совершаются вдоль одной оси, например, груз на пружине, то методом аналогии можно сразу получить формулу для энергии таких колебаний

Итак, полная энергия гармонических колебаний не зависит от времени и

пропорциональна квадрату амплитуды.

4.2. Затухающие колебания

Однако в природе и технике любые свободные колебания не могут совершаться бесконечно долго, поскольку всегда действуют силы сопротивления. Без притока энергии извне (без внешних воздействий) любое колебание рано или поздно прекращается. И механическая или электромагнитная энергия колебаний превращается в тепловую (внутреннюю) энергию.

Колебания, амплитуда которых уменьшается со временем под действием сил сопротивления, называются затухающими.

Обычно силы сопротивления среды при небольших скоростях движения пропорциональны скорости (при больших – квадрату скорости). Соответственно момент силы сопротивления пропорционален угловой скорости

MFc = αω = αϕ′.

28

где γ = α/(2J) – коэффициент затухания.

Это дифференциальное уравнение затухающих колебаний. Его решение

затухающих колебаний, δ – начальная фаза колебаний.

Функция (4.6) описывает затухающие колебания. Вид этой функции показан на рис. 4.5. Затухающие колебания негармонические.

t

−A

Рис. 4.5

Отметим, что, чем больше коэффициент затухания γ, тем быстрее уменьшается амплитуда колебаний. Когда γ становится больше ω0, колебаний вообще не будет, амплитуда монотонно стремится к нулю.

4.3. Вынужденные колебания

Чтобы система совершала незатухающие колебания, необходимо восполнять извне потери энергии. Для механической системы это означает, что надо приложить внешнюю периодическую силу

F(t) = F0 cosωt,

где F0 и ω – амплитуда и циклическая частота этой силы.

Если тело совершает колебания под действием периодической силы F(t),

29

где f0 = F0 l/J.

Это уравнение вынужденных колебаний. Его незатухающее решение

Таким образом, в установившемся режиме вынужденные колебания можно считать гармоническими. Амплитуду и начальную фазу вынужденных колебаний можно найти, подставив ϕ(t) в (4.7).

силы, возникшей, например, из-за несбалансированности вращающихся частей машин, из-за порывов ветра или из-за сейсмических колебаний. Крупные органы человека и сельскохозяйственных животных имеют частоты собственных колебаний порядка нескольких герц, и сильные внешние вибрации с такими частотами могут вызвать резонанс органов, приводящий к местным кровоизлияниям и микроразрывам тканей. Вибрации приводят к головокружениям, затруднению дыхания, болям в суставах, нарушению зрения и другим неприятным последствиям. Поэтому при работе с виброинструментом или вблизи него необходим постоянный контроль здоровья. Кроме того, сильные вибрации снижают молочную продуктивность коров, замедляют рост молодняка и т.д.

Заканчивая разговор о свободных и вынужденных колебаниях, еще раз повторим, что все сказанное в этих трех параграфах относится к колебаниям любой природы, а не только механическим.

4.4. Механические волны

К механическим колебаниям относятся также совместные колебания частиц, из которых состоит та или иная среда. Такие колебания называют механи-

ческими волнами.

Если обозначить смещение частиц среды, участвующих в волновом процессе y, то уравнение плоской бегущей волны, распространяющейся вдоль оси Х, будет иметь вид

30