и записать формулу в виде рекуррентного соотношения

, .

Согласно и его следует дополнить нулевым начальным условием

.

В отличие от формул , формулы , не могут быть использованы для вычисления величин . В них входят неизвестные величины:,,. Однако из этой системы рекуррентных равенств можно получить рекуррентные неравенства.

Введем для оценки сеточной функции ее норму

, при этом.

Предположим далее, что функция в интересующей нас области изменения ее аргументов ограничена

.

Это позволяет написать оценку

, .

С учетом и из формулы следуют рекуррентные неравенства

,

которые порождают цепочку оценок

Согласно , так что

.

Это позволяет заменить индивидуальные оценки универсальной оценкой

, .

Неравенства справедливы при любом , в частности, при том, при которомдостигает своего наибольшего значения и определяет тем самым норму сеточной функции. В результате оценка погрешности решения принимает вид

---

,

где - длина отрезка, на котором рассматривается решение исходной задачи , .

Мы получили важный результат: оценку погрешности решения через оценку погрешности аппроксимации уравнения с коэффициентом, который не зависит от шага . Чем лучше разностное уравнение аппроксимирует дифференциальное, тем меньше погрешность решения.

Чтобы завершить исследование метода Эйлера, оценим норму погрешности аппроксимации уравнения . Предположим, что функцияимеет в рассматриваемой области изменения аргументов непрерывные и ограниченные первые частные производныеи. Это обеспечивает существование у решения задачи , непрерывной и ограниченной второй производной

.

Запишем для функции формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа

.

Подставляя разложение в формулу для погрешности аппроксимации уравнения, получим

.

Согласно формуле функция непрерывна и ограничена

,.

Это позволяет написать оценки

,.

Неравенства показывают, что при погрешность аппроксимации уравнения и связанная с ней неравенством погрешность решения стремятся к нулю со скоростью. В связи с этим метод Эйлера называют методом первого порядка точности относительно.

---

Задача 3.

Рассмотреть задачу Коши

,

.

Построить ее численное решение на отрезке по схеме Эйлера с шагами, , . Сравнить результаты расчетов между собой и с аналитическим решением задачи

.

Результаты расчетов приведены в таблице 1.

Таблица 1

Здесь в первом столбце выписаны значения независимой переменной с шагом, в трех следующих столбцах - решения разностной задачи с шагами,,. При этом результаты расчетов с шагамиив промежуточных точках, которые не вошли в первый столбец, опущены. В последнем пятом столбце приведены для сравнения значения функции, дающей аналитическое решение задачи. Из таблицы видно, как по мере уменьшения шага повышается точность. В то же время следует отметить, что даже при маленьком шагеметод не может обеспечить решению хорошую точность: ошибка в последней точкесоставляет.

Результаты проведенных расчетов представлены также на рис. 1. На нем приведены три кривые, соответствующие численному решению задачи по схеме Эйлера с шагами ,,. При выбранном масштабе криваяIIIпрактически совпадает с графиком аналитического решения задачи (пунктирная линия). Рисунок наглядно показывает повышение точности приближенного решения по мере уменьшения шага.

---

Мы подробно разобрали метод Эйлера, поскольку на примере простой разностной схемы он позволяет поставить и обсудить все основные вопросы численного решения задачи Коши методом конечных разностей. Однако следует отметить, что полученные в этом разделе результаты представляют прежде всего теоретический интерес. Для решения реальных задач разностную схему Эйлера обычно не применяют из-за ее низкой точности: погрешность с уменьшением убывает как. В следующих разделах мы обсудим пути построения разностных схем более высокого порядка точности.

---

2. Повышение точности разностного метода.

Оценка погрешности решения через погрешность аппроксимации уравнения в методе Эйлера приводит к вполне естественному выводу: чтобы повысить точность метода, нужно улучшить аппроксимацию дифференциального уравнения разностным. Рассмотрим возможные пути реализации этой идеи.

Предположим, что решение дифференциального уравнения имеет производные достаточно высокого порядка и напишем для него разложение по формуле Тейлора

.

Если его оборвать на члене порядка и положить в соответствии с дифференциальным уравнением, то мы придем к схеме Эйлера.

Сделаем следующий шаг. Оборвем разложение на члене порядка и воспользуемся для вычисления производнойформулой . В результате получим новое рекуррентное соотношение, более сложное чем ,

,

которое можно также записать в виде разностного уравнения

.

Здесь, как и в предыдущем разделе, мы обозначили искомую функцию в разностном уравнении буквой , а не, чтобы подчеркнуть, что и – это два разных уравнения.

Уравнение , дополненное начальным условием , дает явную разностную схему численного решения рассматриваемой задачи Коши. По рекуррентной формуле можно последовательно рассчитать все значения сеточной функции и получить таким образом приближенное решение задачи , . Исследование показывает, что такая усложненная схема имеет второй порядок точности относительнокак для аппроксимации уравнения, так и для погрешности решения. Существенно то, что основная идея данного подхода допускает дальнейшее развитие. Если оборвать разложение на члене порядка,и т. д., то получатся разностные схемы третьего, четвертого и более высоких порядков точности.

---

Смотрите также файлы

• 8.doc

• 7.doc

• 4.doc

• 15.doc

• 13.doc