Файл: Для подготовки к экзамену по.doc

– управляемым (выбрав нужное значение фактора, его можно установить и поддерживать постоянным в течение эксперимента);

– однозначным;

– независимым (не быть функцией другого фактора);

– совместимым в совокупности с другими факторами (т. е. все комбинации факторов осуществимы);

– количественным;

– точность установки (измерения) значения фактора должна быть высока.

Каждый фактор в проводимом эксперименте может принимать одно или несколько значений – уровни факторов. По ГОСТ 24026–80 уровень фактора – фиксированное значение фактора относительно начала отсчета. Может оказаться, что фактор способен принимать бесконечно много значений – непрерывный ряд. Практически принимается, что фактор имеет определенное количество дискретных уровней.

Фиксированный набор уровней факторов определяет одно из возможных состояний «черного ящика» – условия проведения одного опыта.

Если перебрать все возможные наборы уровней факторов, то получим полное множество различных состояний «черного ящика» – ,

где p – количество уровней,

n – количество факторов.

Если эксперимент проводится для 2-х факторов на 2-х уровнях варьирования, то имеем 2² = 4 состояния;

для 3-х факторов на 2-х уровнях – 2³ = 8;

для 3-х факторов на 3-х уровнях – 3³ = 27;

для 5-ти факторов на 5-ти уровнях – 5⁵ = 3125 состояний «черного ящика» или опытов.

В ПЭ вводится понятие «факторное пространство». Факторным называется пространство, координатные оси которого соответствуют значениям факторов. Для «черного ящика» с двумя факторами x₁ , x₂ можно геометрически представить факторное пространство в виде рисунка 43. Здесь факторы изменяются (варьируются) на 2-х уровнях.

Для уменьшения количества опытов необходимо отказаться от экспериментов, которые содержат все возможные опыты. На вопрос: «Сколько опытов надо включить в эксперимент?» дают ответ методы ПЭ.

Известно, что минимальное количество опытов имеем при 2-х уровневом варьировании.

Итак, количество опытов 2ⁿ.

Количество факторов n, участвующих в эксперименте, определяется с помощью отсеивающих экспериментов (однофакторного эксперимента, метода случайного баланса [46, см. лаб. работу № 501].

---

Рисунок 43 – Поверхность отклика

Так как каждому набору значений факторов соответствует некоторое (определенное) значение параметра выходного параметра y (параметра оптимизации), то имеем некоторую геометрическую поверхность отклика – геометрическое представление функции отклика.

Функция отклика – зависимость математического ожидания отклика от факторов.

Отклик – наблюдаемая случайная переменная, по предположению зависящая от факторов.

Математическое описание поверхности отклика (математическая модель) – уравнение, связывающее параметр оптимизации y с факторами (уравнение связи, функция отклика, формула 1.1). В ПЭ принимаются следующие предположения о функции отклика (поверхности отклика):

– поверхность отклика – гладкая, непрерывная функция,

– функция имеет единственный экстремум.

Планирование эксперимента как метод получения функции связи(вопр.27)

Итак, вопрос о минимизации количества опытов связан с выбором количества уровней варьирования факторов p. В ПЭ принимают p=2, при этом количество опытов N = 2ⁿ .

При выборе подобласти для ПЭ проходят два этапа:

– выбор основного уровня фактора (x_i0);

– выбор интервала варьирования (λ_i).

Введем обозначения:

– –натуральное значение основного уровня i-го фактора (базовое значение, базовый уровень),

i – номер фактора.

Пример, если R₁= 10 кОм (см. рисунок 42), то кОм,

для R₂ = 3кОм – кОм и т.д.;

– –натуральное значение верхнего уровня фактора, которое определяется по формуле x_{imax =} x_i0 + λ_i ,

где – натуральное значение интервала варьирования i-го фактора.

---

В примере (см. рисунок 42) принимается = 20 кОм, тогда

x_1max = 120 кОМ;

– –натуральное значение нижнего уровня фактора, которое определяется по формуле x_imin = x_i0 - λ_I , в нашем примере x_1min = 80 кОм.

На величину интервала варьирования накладываются естественные ограничения:

– интервал варьирования должен быть не меньше ошибки измерения фактора;

– интервал варьирования должен быть на больше пределов области определения фактора [13].

Выбор интервала варьирования неформализуемый этап, на котором используется следующая априорная информация:

– высокая точность установки значений факторов;

– предположение о кривизне поверхности отклика;

– диапазон возможного изменения факторов.

Для РЭС принимают = (0,1,…,0,3) x_i0 .

В примере (см. рисунок 42) подсчитаем значения трех факторов при заданном базовом уровне (x_i0 ) и интервале варьирования ().

Таблица  3.1 – Значения факторов

Параметр	Фактор	Номинальное значение , кОм	Интервал , кОм	Уровни
				, кОм	, кОм
R1	x1	10	2	12	8
R2	x2	3	0,6	3,6	2,4 кОм
R3	x3	100	20	120	80

---

В ПЭ используются не натуральные, а кодированные значения факторов.

Кодирование факторов (по ГОСТ 24026–80 – «нормализация факторов») проводится по формуле:

Тогда если x₁ = x_1max , то имеем x_i =+1, если x₁ = x_1min , – x_i = –1, x_i – кодированное значение фактора.

В самом простом случае ПЭ позволяет получить математическое описание функции связи (математическую модель объекта исследования – РЭУ) в виде неполного квадратичного полинома:

.

При этом осуществляется варьирование на двух уровнях (p=2), и минимальное количество опытов равно N=2ⁿ , где n – количество наиболее влияющих факторов, включенных в эксперимент после проведения отсеивающих экспериментов.

Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ).

ПФЭ проводится по плану, который называется матрицей ПФЭ, или матрицей плана (таблицы 3.2 и 3.3).

Матрицей плана называют стандартную форму записи условий проведения экспериментов в виде прямоугольной таблицы, стоки которой отвечают опытам, столбцы – факторам.

Таблица 3.2 – Матрица ПФЭ для двух факторов

j	x1	x2	yj
1	–	–	y1
2	+	–	y2
3	–	+	y3
4	+	+	y4

---

В матрице ПФЭ знак ”–” (минус) соответствует ”+1”, а ”+” (плюс) ”соответствует ”–1”.

В матрице ПФЭ для двух факторов (n=2) (см. таблицу 3.2) количество уровней варьирования – p=2, количество опытов N=2²=4.

Таблица 3.3 – Матрица ПФЭ для трех факторов

j	x1	x2	x3	yj
1	–	–	–	y1
2	+	–	–	y2
3	–	+	–	y3
4	+	+	–	y4
5	–	–	+	y5
6	+	–	+	y6
7	–	+	+	y7
8	+	+	+	y8

В матрице ПФЭ для трех факторов (n=3) (см. таблицу 3.3) количество уровней варьирования – p=2, количество опытов N=2³=8.

В соответствии с планом проводится ПФЭ. Для примера на рисунке 42 принимаем n=3 и реализуем матрицу ПФЭ по таблице 3.3. Для этого:

– устанавливают значения факторов x₁ , x₂ ,… x_n на уровни по первой строке матрицы (см. таблицу 3.3) (–1, –1,…,–1);

– измеряют первое значение выходного параметра y₁ ;

---